Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Байков В.А. -> "Уравнения математической физики" -> 29

Уравнения математической физики - Байков В.А.

Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики — Москва, 2003. — 252 c.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка): uravneniyamatematfiziki2003.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 56 >> Следующая

изотропном пространстве определяется уравнением теплопроводности
( п2 п2 А
ОН 2
- = а
dt
д и д и д и
^ 2 д 2 д 2
с х ду dz
где u(x,y,z,t) - температура точки M(x,y,z) в момент t, а2- -, р-
ср
плотность, с - коэффициент удельной теплопроводности, а ср/ - плотность
тепловых источников.
Рассмотрим в неограниченном пространстве следующую задачу.
Найти решение уравнения теплопроводности (1) при начальном условии
u = {x,y,z,Q)=u?{x,y,z). (2)
Решение этой задачи может быть представлено в виде суммы
U = W] + и2, где щ - решение однородного уравнения
III. Уравнение теплопроводности
125
С неоднородными начальными условиями (2) м2 - решение неоднородного
уравнения (1) с нулевыми начальными условиями. При изучении
соответствующих одномерных задач мы видели (см. лекцию 15), что их
решения определялись с помощью фундаментального решения.
§1. Фундаментальное решение
Введем в рассмотрение функцию
Докажем несколько утверждений относительно этой функции.
Лемма 1. Функция G - удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности
(3).
Доказательство. В самом деле, дифференцирование дает
Г
лЗ (*Ч)2+(т-п)2+М)2
G(x,y,z,t- ?,, л, С)
(4)
Ззс2 v2-Jna2t у 2 a2t y2^na2t, 4а4/2
и аналогичные выражения для производных по у и z, откуда
з (,-a)2+(y-n)2+(z-Q2 2
е
здесь А = -- +--------- + -- и далее
дх ду2 dz2
д2 д2 д2
и далее
DG
dt
3 ! {x-tf +{y~r\f +(Z~C)2] 1 f 1
Y М)2+(т-л)2+М)2
Следовательно
126 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лемма 2. При t > 0 имеет место равенство
ОС X 00
{ j J G{x,y,z,t,k,4, Qdk di\ dc,=\. (5)
-00 -20 -X
Доказательство. В самом деле интеграл (5) можно представить в виде
произведения трех интегралов, каждый из которых равен единице:
-X -X -X
1 -(2=5)! оо 1 _(-^)2 оо 1 -№?
- J -, е 4"2/ d'^- J -, е 4°2' Лр J -, е 4а-/ ^
2V7Ш2/ -=° 2\jna2t -"> 2\jna2t
] ¦ /ЗЦ >
-х> 2*\кa21 л/71-со V 2ayt)
Функция (4) представляет собой температуру в точке M(x,y,z) в момент
времени t, вызываемую точечным источником мощности Q = ср, помещенным в
момент 1 = 0 в точку M'(?,,r|, Q. Функцию G называют функцией
температурного влияния мгновенного источника тепла или фундаментальными
решением уравнения теплопроводности.
§2. Задачи Коши
Используем теперь фундаментальное решение (4) для решения задачи о
распространении начальной температуры в неограниченном пространстве.
Пусть требуется найти решение уравнения
ди 9
= а
dt
дх2 ду2 дг2
, - оо < x,y,z < +00Д > 0, (6)
V'-
удовлетворяющее начальному условию
u(x,y,z,o)=(p(x,y,z). (7)
Начальное температурное состояние, очевидно, можно представить как
результат суперпозиции действия мгновенных источников, создающих на-
III. Уравнение теплопроводности 127
чальную температуру. Рассмотрим элемент объема dt^dr\dt,, содержащий
точку М'(^,г|,^). Для создания начальной температуры ф(?,, г|. необходимо
в объеме dt, dy\ dt, поместить количество тепла dQ = срф(?,, r\, t,)dt,
dr\ dt,.
Это сосредоточенное количество тепла создает в точке М(?,,г|,^) в момент
t температуру.
- G(x, у, z,t;^,T],Q=G(x,y,z,t;?,,r],Q<p(?,,r],Qd?,dr]d^. (8)
ср
В силу принципа суперпозиции решение нашей задачи может быть получено
интегрированием (8) по всему пространству
X СО 00
u(x,y,z,t)= J J jG(x,y,z,t;^,r\,i;)(p(E"r\,i;)d^dr\di;. (9)
- ОС -СО -СО
Формула (10) получена нами в результате наводящих рассуждений, не
определяющих границы ее применимости и не имеющих доказательной силы.
Справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Если функция ф непрерывна и ограничена, |ф|<М, то функция и
определяема выражением (9),
1) ограничена во всем : |и| < М;
2) является решением уравнения теплопроводности при t > 0;
3) при t = 0 функция и непрерывно примыкает к ф т.е.
lim и(х,у, z,t) = q>(x,y,z) .
1-* о
Доказательство. Ограниченность функции и, определяемой формулой (9),
устанавливается непосредственно, если принять во внимание равенство (5):
СО СО СО
\и\ < A J J ^Gdt^dx\dt, = А.
-СО -СО -СО
Далее, как известно, дифференцирование по параметру под знаком
несобственного интеграла возможно, если:
128 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
1) производная по параметру от подынтегральной функции непрерывна;
2) интеграл, полученный после формального дифференцирования, равномерно
сходится.
Производя формальное дифференцирование интеграла (9) по х получим:
(,v-^)2+(v-r|)2+(z-C)2
( 1 А С° 00 °0 р ЧЛ Z
J J J ^ <2 Ф
- 00 -СО -СО V 2 at)
2л[тг~2<
ка t у
Подынтегральная функция непрерывна при 0 < t < Т, а наличие множи-
[ (x-^)2+(y-p)2+(z-02 ] г
теля ехр< - ----------- -1 - >¦ обеспечивает равномерную
сходи-
[ 4 a2t \
мость, если ф ограничено: |ф| < А. Аналогичные результаты мы получим при
повторном дифференцировании по х и при дифференцировании по t; то же
относится и к дифференцированию по у и z. Теперь в силу леммы 1 функция и
при t > 0 удовлетворяет уравнению теплопроводности.
Перейдем к доказательству непрерывности и(х, у, z,t) при t = 0. Для этого
формулу (9) перепишем в виде
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed