Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
функцией
дх
Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на
поверхности тела с окружающей средой, температура которой 0 известна.
Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, вытекающего через
сечение х = /,
Q = h{u - б)
102 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики и
Q = -k
ох
получаем математическую формулировку третьего граничного условия в виде
ОХ
/ \
где X = коэффициент теплообмена, 0 (?) - некоторая заданная функция.
к
Для конца х = 0 стержня (О,/) третье граничное условие имеет вид
АМ=4,(о,,)-е(<)].
ОХ
Граничные условия при х = 0 и х = 1 могут быть разных типов, так что
число различных задач велико.
Первая краевая задача состоит в отыскании решения и = и(х,t) уравнения
теплопроводности при 0<х</, 0<t<T, удовлетворяющего условиям
м(х,0) = ф(х), 0 <х</,
= и = 0 <t<T,
где ф(х), рД?) и ц2(0 - заданные функции.
Аналогично ставятся и другие краевые задачи с различными комбинациями
краевых условий при х = 0 и х = /. Возможны краевые условия более
сложного типа, чем те, которые были рассмотрены выше.
Кроме названных здесь, задач часто встречаются их предельные случаи.
Рассмотрим процесс теплопроводности в очень длинном стержне. В течение
небольшого промежутка времени влияние температурного режима, заданного на
границе, в центральной части стержня сказывается весьма слабо, и
температура на этом участке определяется в основном лишь начальным
распределением температуры. В задачах подобного типа обычно считают, что
стержень имеет бесконечную длину. Таким образом, ставится задача с
III. Уравнение теплопроводности 103
начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на
бесконечной прямой:
Найти решение уравнения теплопроводности в области - со < х < со и t>t0,
удовлетворяющее условию
u(x,t0)= ф(х) (-со < х <+со), где ф(х) - заданная функция.
Аналогично, если участок стержня, температура которого нас интересует,
находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае
температура практически определяется температурным режимом близкого конца
и начальными условиями. В задачах подобного типа обычно считают, что
стержень полубесконечен, и координата, отсчитываемая от конца, меняется в
пределах 0 < х < со. Приведем в качестве примера формулировку первой
краевой задачи для полубесконечного стержня:
Найти решение уравнения теплопроводности в области 0<х<со и t0 <t,
удовлетворяющее условиям
и (х, 10) = ф (х), 0 < х < СО ,
и (Q,t) = p(t), />/",
где ф (х) и р (t) - заданные функции.
§ 2. Принцип максимума
В этом параграфе мы рассмотрим однородный стержень, т.е. к, с, р -
постоянные. Кроме того, будем считать, что тепловые источники отсутствуют
(i7(x,?)=0) Тогда уравнение теплопроводности (1) принимает простой вид:
ди 2 д1и
"Т7 = а -¦ (2)
dt дх
Здесь а2 = к/ср. Докажем следующее свойство решений этого уравнения,
которое мы будем называть принципом максимального значения.
104 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Теорема 1.
Если функция u[x,t), определенная и непрерывная в замкнутой области 0 < /
< Т и 0 < х<1, удовлетворяет уравнению теплопроводности (2) в точках
области 0 <х <1, 0 <t <Т, то максимальное и минимальное
значение функции и (х,/) достигаются или в начальный момент, или в точках
границы х = 0 или х = 1.
Доказательство. Так как теорема о минимуме сводится к теореме о максимуме
переменной знака у u{x,t), то мы ограничимся доказательством теоремы о
максимуме.
Доказательство теоремы ведется от противного. Обозначим через М
максимальное значение u{x,t) при ? = 0(0<х</), или при х = 0, или при
х = / (0<?<Г) и допустим, что в некоторой точке (х0,?0)
(О <х0</, 0<?0 <Г) функция u{x,t) достигает своего максимального значения
и (х0, у0) = М + s.
Сравним знаки левой и правой частей уравнения (2) в точке (х0, ?0 )
функция достигает своего максимального значения, то необходимо должно
быть
ди(хол) 0 и д2м(х0,?0)^0
ох дх2
Далее, так как и (х0,?) достигает максимального значения при t = t0, то
8 и (х0, tq dt
д и (xr. ,tn) ди (хл, tn )
Так как, если ?n < Т, то ---------------- = 0, если же ?n = Т, то - >
0.
0 dt 0 dt
Далее рассмотрим вспомогательную функцию
и (х, t) = и (х, t) + к (?0 - ?), (5)
где к - некоторое постоянное число. Очевидно, что
v(xQ,t0) = u(xQ,t0)= М + е
>0.
(4)
III. Уравнение теплопроводности 105
к(l0 -t)<kT.
? ?
Выберем к > 0 так, чтобы кТ был меньше -, т.е. к < -, тогда максималь-
2 2 Т
ное значение
"^ s М + -, т.е.
2
о (х, t) при 1 = 0 или при х = 0,х = 1 не будет превосходить
о(х, 1) < М + - (при 1 = 0 или х = 0, или х = /), (6)
так как для этих аргументов первое слагаемое формулы (5) не превосходит
,, s
М, а второе - -.
В силу непрерывности функции о (x,l) она должна в некоторой точке (xj,
lj) достигать своего максимального значения. Очевидно, что
о(х|,1|)>о(х0,10)=М + ?.
Поэтому 1, >0 и 0<х, </, так как при 1 = 0 или х = 0,1 имеет место
неравенство (6). В точке (xj, t-y) по аналогии с (3) и (4), должно быть
