Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
р(м)>0, р{м)>0, q(M)> 0.
Задачи типа (1) - (3) встречаются при изучении процесса колебаний
мембраны (случай двух независимых пространственных переменных),
акустических колебаний газа, электромагнитных процессов в непроводящих
средах.
II. Гиперболические уравнения §1. Схема метода разделения переменных
93
В этом параграфе мы ограничимся изложением формальной схемы решения
задачи (1) - (3). С этой целью рассмотрим основную вспомогательную
задачу:
Найти нетривиальное решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее
граничному условию (3), представимое в виде произведения
u(M,t)=u(M)T(t). (4)
Подставляя предполагаемую форму решения (4) в (1) и разделяя, как обычно,
переменные, приходим к следующим уравнениям для функций о(м) и T(t):
div(p grad о) - q о + А, р о = 0, (5)
uU=o;
Т" + ХТ = 0. (6)
Для о(м) получаем задачу на собственные значения (задачу Штурмана-
Лиувилля):
Найти те значения параметра X, при которых существуют нетривиальные
решения задачи (5), а также найти эти решения. Такие значения параметра X
называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные
решения - собственными функциями задачи (5).
В нашем случае уравнение для собственных функций представляет собой
уравнение с частными производными, вследствие чего трудно рассчитывать на
получение явного представления собственных функций для произвольной
области Q. Мы рассмотрим общие свойства собственных функций и собственных
значений и проведем формальную схему метода разделения переменных.
Перечислим эти свойства.
1. Существует счетное множество собственных значений Хг <Х2 <-шш<Хп
<¦¦¦, которым соответствуют собственные функции
01(М),02(М),...,0Й(М)....
94 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Собственные значения Хп с возрастанием номера п неограниченно возрастают:
Хп -при п->сс.
2. При q> 0 все собственные значения X положительны:
Xn>Q.
3. Собственные функции {о,,} ортогональны между собой с весом р(м) в
области Q:
при пФт. (7)
?2
4. Теорема разложимости. Произвольная функция f(m) из класса С2(Q) и
удовлетворяющая граничному условию
F\S=Q
разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным
функциям ММ)}:
F(M)=ZFivi(M),
1=1
где Ff - коэффициенты разложения определяются по формулам
\\\р{м)р{м)\з j{M)d о \\\р(м)У(м)с1\з
Q
Доказательство свойств 1 и 4 основывается обычно на теории интегральных
уравнений. Перейдем к доказательству свойств 2 и 3, не требующему
специального математического аппарата. Докажем ортогональность
собственных функций {о"} (свойство 3). Пусть о"(м) и от (М)- две
собственные функции, соответствующие различным собственным значениям Хп и
Хт:
div (/) grad vn)~ q vn + Хп pu"=0, u"|s = 0,
div (p grad vm}-qvm + Xm pum = 0, om|s=0-
II. Гиперболические уравнения 95
Умножая первое уравнение на ош(м) и вычитая из него второе уравнение,
умноженное на и"(м), находим:
ШК div(p grado")-u"div(/) gradom)+(A,B - A,m) p ои um]rfu = 0.
Q
Отсюда с использованием формулы Остроградского нетрудно
JJjdiv J5 d о=\\Л'П d s
q s
получить соотношение
jjfum P^-Vs + (^" "?ОШРи" Um rfu = 0.
Л dn dn ) Q
Теперь в силу граничных условий ил = 0 и om = 0 на S,
(*•" -К)Шр^ vm dv = 0,
Q
откуда и следует, что при Хп ^Хт
JJJpu" vmdv = 0,
n
т.е. собственные функции, соответствующие разным собственным значениям,
ортогональны между собой с весом р(м).
Если собственные функции, соответствующие некоторому Хп, не ортогональны
между собой, то мы можем ортогонализировать их и получить новую систему
собственных функций, ортогональных между собой и соответствующих тому же
Хп.
Совокупность таких систем собственных функций для разных Хп образует
ортогональную систему собственных функций рассматриваемой краевой задачи
(5).
Для доказательства положительности собственных значений (свойство
2) достаточно воспользоваться первой формулой Грина
tfK/'gradun)2du=-Jj]'o" div(/>gradu")c/o+jju" pd^ds =
Q Q son
= -llh u" d U + X" JJjp v2" d о.
Q Q
Отсюда видно, что при q > 0 собственные значения Хп положительны.
96 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Вернемся теперь к уравнению в частных производных. Решение уравнения (6)
при Х = Хп имеет вид
Tn(t) = Ancos'jK t + B"smpT" t, так что решение нашей основной
вспомогательной задачи будет произведение
un(M,t)=Tn(t)un{M)= (а" cosфУt + Вп sinфУ t)о"(М).
Решение исходной задачи (1) - (3) естественно искать в виде суммы
СС 00 / __ ____________ \
u{M,t)= 5>л(М,/) = ^{Ап cosyyt + Bn ятфУфУм).
п=1 т?=1
Удовлетворяя начальным условиям (2)
Ф)= tA"v"(M), фм)= ±ВпфУ о "(М)
77=1 77=1
и пользуясь теоремой разложимости 4, находим:
Л"=Ф", ВпФК=Ут
где фл и \\i п - коэффициенты Фурье функций ф(м) и ф(м) в их разложе-нии
по ортогональной с весом р(м) системе функций ол(м). Тем самым формальное
построение решения исходной задачи закончено.
§2. Колебания прямоугольной мембраны
Пусть в плоскости (х, у) расположена прямоугольная мембрана со сторонами
Ъх и Ь2, закрепленная по краям и возбуждаемая с помощью начального
