Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Байков В.А. -> "Уравнения математической физики" -> 23

Уравнения математической физики - Байков В.А.

Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики — Москва, 2003. — 252 c.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка): uravneniyamatematfiziki2003.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 56 >> Следующая

отклонения и начальной скорости. Для нахождения функции u(x,y,t),
характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия, мы должны
решить уравнение колебаний
II. Гиперболические уравнения 97
при начальных данных
м(х,у,0)=ф(х,у), ди(х у,Q) = V|/(x^)
(9)
dt
и граничных условиях
и(0,уд) = 0, u(buy,t)=0, (10)
и(х,0д)=0, u(x,b2,t) = 0- (11)
Мы ищем решение методом разделения переменных, полагая
u(x,y,t)=v(x,y)r(t). (12)
Подставляя (12) в (8) и разделяя переменные, получаем для функции T{t)
уравнение
T"(t)+a2XT = 0, (13)
а для функции о(х, у) - следующую краевую задачу:
+ и>.>- +^о = 0; (14)
u(0,y)=0, v(buy)=0, о(х,0)=0, о(х,й2)=0.
Теперь и задачу (14) будем решать методом разделения переменных, полагая
о (x,y) = X(x)Y(y).
Проведя разделение переменных, получаем следующие одномерные задачи на
собственные значения:
Х" + 1Х = 0, х(0)=0, x(bl)= 0; (15)
Г' + рТ = 0, Т(о)=0, Y{b2)= 0, (16)
где % и р - постоянные разделения переменных, связанных соотношением
х + " = Х. (17)
Решения уравнений (15) и (16) имеют вид
( \2 ( V2
.ил пп } . тп (тп
X п (х) = sin - х, Xi = - и Ут(у)= sin--у, рт = --
h ) ъ2 [ь2
соответственно. Таким образом, согласно (17) собственным значениям Х" = -
- + --- задачи (14) соответствуют собственные функции
' I bi ) \ ь2 )
. . ух п . тп
и",т =Л sin -x-sm - у,
Ь\ Ь2
98 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики где Ап т -
некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций оя т
с весом 1 была равна единице
ГГ 2 , , *2 \ ¦ 2 пп , г ¦ 2 тп , ,
| ju"m dxdy = A"m Jsin - xdx- Jsin -ydy = 1. 0 0 0 b\ 0 ^2
Отсюда
л
"•""VmT
Ортогональность функций очевидна. Следовательно, функции
2 .ил . /ил
sin x-sin у (18)
ТМГ *2
образуют ортонормированную систему собственных функций прямоугольной
мембраны (14). Далее из (13) получаем, что
Т",т (0 - Ап,т C0S д/^я.т а ^ ,т д/^"л,т а ^ > и таким образом получаем
семейство частных решений задачи (8), (10), (11):
ип,т = ^^mix,y)-Tnm{t).
Теперь искомое решение уравнения (8) при дополнительных условиях (9) -
(11) имеет вид
ОС ОС / \
u(*,y,t)= ЪЪ\Ап,т С0 at + Bn,m sin д/Ч"* а Ч" п,т(Х'у) ' 0
9)
ш-\п-\
где vnm определяются формулой (18), а коэффициенты Ап т и Вп т равны
А Ь\Ь} ( \ ( \ J J 2 Ъ\Ь} I \ . пкх . тп у
Ап,т = J J<P{x'yp",m{x,y)dxdy = -f== J Jcp(х,у) sin--sin--dxdy,
0 0 (r)2 0 0 2
n 1 2 Vr l \ ¦ nnx ¦ тпу
n,m = I , • r-- J \щх,у) sin---sin--dxdy.
tJci \n m ЛГ1 2 0 0 *1 2
Сходимость ряда (19) и возможность его почленного дифференцирования можно
обосновать, используя теорию кратных рядов Фурье.
II. Гиперболические уравнения 99
Задачи
1. Решить задачу о свободных колебаниях квадратной мембраны (0< х < р, 0
< у < р), закрепленной вдоль контура, если
. . пх . пу ди,
^0=Hsm---------sin-, - (=0 = 0.
р р dt
2. Решить следующую смешанную задачу:
utt = Аи, 0 <х<л, 0<х<л,
и\ х-0 =м| х=п = и\ у-о = U\ у=и = 0 >
и| = 3 sin х sin 2 у, ut | (=0 = 5 sin Зх sin 4у.
3. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной мембраны (О < х <
р, 0 <у <q), закрепленной вдоль контура, если
u\t=o=A*y{x-p){y-q\ "гг|0 •
dt
Ш. Уравнение теплопроводности
Лекция 13. Одномерное уравнение теплопроводности. Постановка краевых
задач. Принцип максимума. Теоремы единственности
Процесс распространения температуры в стержне, теплоизолированном с боков
и достаточно тонком, чтобы в любой момент времени температуру во всех
точках поперечного сечения можно было считать одинаковой, может быть
описан функцией и (х, i), представляющей температуру в сечении х в момент
времени t. Эта функция и (х, t) - решение уравнения
ственно плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности
стержня в точке х, a F (х, t) - интенсивность источников тепла в точке х
в момент времени t.
§ 1. Постановка краевых задач
Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо
к уравнению присоединить начальные и граничные условия.
Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа состоит
лишь в задании значений функции и (х, t) в начальный момент t{).
(1)
называемое уравнением теплопроводности. Здесь р (х), с (х) и к (х) -
соответ-
III. Уравнение теплопроводности 101
Граничные условия могут быть различны в зависимости от температурного
режима на границах. Рассматривают три основных типа граничных условий.
1. На конце стержня х = 0 задана температура
u(0,t)= p(z),
где р (z) - функция, заданная в некотором промежутке t0 <t< Т, причем Т
есть промежуток времени, в течение которого изучается процесс.
2. На конце х = / задано значение производной
дх
К этому условию мы приходим, если задана величина теплового потока
g(/,z), протекающего через торцевое сечение стержня
аНА-РФМ
ОХ
(Q(i,t) - плотность теплового потока, равная количеству тепла, протекшего
в
2 cu(l,t) / \ / \
единицу времени через площадь в 1 см ), откуда -----1- ^(//> где 'v/
дх
известная функция, выражающаяся через заданный поток Q{l,t) по формуле
к
3. На конце х = / задано линейное соотношение между производной и
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed