Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
Для дискретной случайной величины X математическое ожидание т] (X) может быть записано в виде
OO OO
TIfrj(X)= § т](x)f(x)dx= § г)(х)2PiS(х — Xi)dx =
—OO —OO і
so
= S Pi S rI (х) 6 (я — Zi) dx = 2 rI (*<) Pi. (2.42)
і —ж і
если т) (х) непрерывна в точках *) X1, хг, . . .
При бросании игральной кости математическим ожиданием куба появляющегося количества очков является
MX3 = Is- -і- + 23- 4- + • • • + б3- 4- = 73,5.
Поэтому игра, состоящая в том, что бросающий кость игрок делает ставку и получает выигрыш в копейках, равный кубу появляющегося количества очков, будет справедливой, если уплачиваемая им ставка равна 73,5 копейки. В этом случае возможный проигрыш будет только результатом «невезения», а возможный выигрыш только результатом «везения», но не следствием несправедливости условий для одной из играющих сторон.
Если бы игральная кость имела не вполне правильную форму, такую, например, что вероятности появлений чи-
сел 1,2,3 были бы равны а < , а вероятности появления
чисел 4, 5, 6 были бы равны Ъ (при этом должно выполняться равенство Зо + 3ft = 1), то математическое ожидание X8 было бы больше, чем 73,5, так как становятся более вероятными большие значения случайной величины Xs. Если
т, (X) = тії (X) + Ла (X),
*) Чтобы применение к г) (х) операции д было законно, мы, не ограничивая общности, можем считать, что функция т) (х) непрерывная всюду (иначе ее можно заменить непрерывной, совпадающей с ней в точках X1 функцией). МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
77
то
ос
Л/Т1 (X) = J [щ (х) + T]2 (X)] / (X) dx = Mri1 (X) 4- Mn2 (X).
(2.43)
Следовательно, математическое ожидание суммы функций равно сумме математических ожиданий этих функций. Точно так же доказывается, что если с — постоянная величина, то
Мет] (X) = сМх\ (X). (2.44)
Очевидно, что размерность математического ожидания функции случайной величины такая же, как у функции случайной величины.
В частном случае, если т) (X) = X, равенство (2.41) дает математическое ожидание самой случайной величины
00
MX= 5 xf(x)dx. (2.45)
—OO
Математическое ожидание случайной величины является ее важнейшей характеристикой. Как отмечалось выше, она имеет смысл среднего значения случайной величины.
Из (2.42) следует, что для дискретной случайной величины ее математическое ожидание равно
AZX = SpiXi. (2.46)
1
Часто вместо Mr\ (X) для обозначения математического ожидания употребляют горизонтальную черту, которую ставят над функцией, например, -Sl^j sin2 X. Равенства (2.43) и (2.44) можно записать так:
Tlx (X) + Tfc (X) = Th(X) + MX),
__(2.47)
CTi(X) = CT1(X).
В последнее время входит в употребление также следующее обозначение математического ожидания:
Мц (X) - <Ti (X) >. (78
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
§ 21. Моменты функций распределения
Математическое ожидание функции
(.X - а)к
называется моментом к-го порядка относительно начала а случайной величины X. Говорят также, что это момент А-го порядка функции распределения/ (х). Обозначим его ^ft.rt»
ОС
Ka = 5 (x-a)k f(x)dc. (2,48)
— эо
Момент &-го порядка имеет размерность к-й степени раз мерности случайной величины.
Очевидно, что для любой функции распределения мо мент нулевого порядка равен 1.
Для дискретной случайной величины момент Xftt0t записанный непосредственно через вероятности pt, имеет согласно (2.42) вид
Я*.« = M (X - а)" = S (Xi - af Pi. (2.49)
і
Если а = 0, то момент называется начальным. Будем обозначать начальные моменты к-то порядка vh:
ос
Vk = MXlc= Jj 3*f(x)dx = Xk = <tX^. (2.50)
—OO
Для дискретной случайной величины выражение начального момента запишется в виде
V, = M Xk = 2x\Pi - Х* = <Х*>. (2.31) і
Очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть начальный момент первого порядка,
V, = MX = X. (2.52) § 21] МОМЕНТЫ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
79
Бели в (2.48) за величину а принять Л", то моменты называются центральными. Будем обозначать их рА:
oo
IIk = M(X-I)*= I (x-2ff(x)dx. (2.53)
—оо
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю* В самом деле,
OO
И = 5 (x-X)f(x)dx =
—OO
OO OO
= I xf(x)dx — 2 5 f(x)dx = l -I = 0. (2.54)
—во —00
Центральный момент второго порядка называется дисперсией случайной величины и обозначается обычно DX:
OO
DX = = M (X — X)2 = J (x-2fj(x)dx. (2.55)
—OO
Дисперсия — также важнейшая характеристика случайной величины, определяющая математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Бели дисперсия мала, то это означает, что случайная величина имеет тенденцию принимать значения, близкие к ее среднему значению (математическому ожиданию). Бели дисперсия равна нулю, то это означает, что случайная величина с вероятностью 1 принимает некоторое значение (оно равно, конечно, Ж). Плотность вероятности ее согласно (2.39) есть дельта-функция,
f(x) = o(x-Z).
Большая же дисперсия указывает на большое рассеяние случайной величины, т. е. на то, что вероятности принимать значения, существенно отличающиеся от среднего значения, не малы.
