Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Число систем кратности к согласно условию равно cbk~\ где с — число одиночных звезд. Число звезд в системах кратности к равно ckb k^. Вероятность того, что случайно выбранная звезда принадлежит системе кратности Jfe, равна
Abk"1
Pk=--•
f fcb*"1 k=i
1
Так как знаменатель дроби равен ^ ^2-, то
Pu = (1 - W"1. что и определяет искомое распределение. (58
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
§ 14. Биномиальное распределение
Примером дискретной случайной величины является число появлений nt событий А при выполнении п испытаний. Возможными значениями т этой случайной величины являются
т = О, 1,2, . . ., я,
а соответствующие вероятности вычисляются по формуле (1.101):
PnH= m|(n-m)l Рт9п-т-
Условие (2.3) легко проверяется. В самом деле, поскольку (1.101) представляет собой выражение для общего члена бинома Ньютона, то, имея в виду, что р +<7 = 1, находим
п п
s ли = s (л — m)i ртг-т = (р + ?>п - (2j) m=o m=»o
Таким образом, выражение (1.101) определяет распределение случайной величины — числа появлений события А при л испытаниях. Это распределение, вследствие того, что оно имеет такой же вид, как и общий член разложения бинома Ньютона, называют биномиальным распределением.
Если число испытаний п велико, а вероятность р реализации события А не очень близка к нулю и не очень близка к единице, то маловероятно, чтобы событие А при п испытаниях случилось очень малое число раз или число pas, близкое к п. Очевидно, что при малых т вероятность Pn (т) растет с увеличением т, а для т, близких к л, она убывает при увеличении т. Можно предположить, что для какого-то значения т. вероятность рп (т) достигает максимума. Для определения этого максимума отметим, что если он достигается при значении т, то должны быть справедливы два неравенства
р Ifti — 1) о (т)
, . <1, ,nVn >1- 2.8)
Вычисляя при помощи (1.101) величины в левых частях 9 14]
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
59
(2.8), находим
т ч <i OLjlL JL\ п
n-m + i р ^=1' п- т р ^1-
Решая эти неравенства относительно т и учитывая, что р + q = 1, получаем для значения т., при котором рп (т) достигает максимума, неравенства
т < пр + р, т > пр — q. (2.10)
Интервалу [пр — q, пр + р] в общем случае принадлежит только одно целое число, в частном же случае, когда концы интервала целые числа,— два целых числа. Таким образом, максимум рп (т) достигается в общем случае при одном значении т, а в некотором частном случае при двух последовательных значениях т.
Часто вместо случайной величины nt целесообразно рассматривать относительную частоту события А
JL
п
Когда п велико, из неравенства (2.10) следует приближенное равенство
jT = P, (2.11)
т. е. наивероятнейшим значением относительной частоты является вероятность того, что событие произойдет в одном испытании.
Часто также рассматривают случайную величину
Xm = JL-p, (2.12)
которая представляет собой отклонение относительной частоты от наивероятнейшего значения.
Задача 31.В сфере радиуса г находится п молекул газа. Найти вероятность того, что ив них ровно т молекул будут находиться на расстоянии, меньшем р = Xr от центра этой сферы (т ^ п, X ^ 1).
Решение. Так как отношение объема сферы с радиусом р к объему всей сферы равно к8, то вероятность р того, что какая-то одна молекула окажется на расстоя- (50
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
нии, меньшем р, от центра сферы, равна Xа. Следовательно, искомая вероятность
ли-TSRS=^grW !-^m-
Задача 32. Найти наивероятнейшее число появлений единиц при бросании игральной кости 3000 раз.
Решение. Так как в этой задаче р = 1/6, п = 3000, то согласно (2.11) наивероятнейшим числом т появлений единицы будет 500. Это не означает, что вероятность появления 1 при 3000 бросаниях игральной кости велика. При помощи формулы (2.7) легко подсчитать (для этого надо использовать формулу (Стерлинга), что
P8ooo (500) 0,01954,
т. е. эта вероятность мала. Она мала потому, что имеется большое число других возможных частот появления 1 при 3000 бросаниях игральной кости. Но вероятность любого другого КОЛИЧеСТВа ПОЯВЛеНИЯ 1 МСНЬШе, чєм P80oo (500).
§15. Гип ер геометрическое распределение
Из урны, в которой имеется S шаров, в том числе N белых, случайным образом последовательно извлекается п шаров. Чему равна вероятность того, что среди них окажется ровно т белых шаров. Должны, очевидно, выполняться неравенства N ^ S, п S, т ^ N, т п.
Вероятность достать белый шар при первом извлечении
Если каждый раз, как извлечен шар, записывать его цвет и возвращать шар в урну, то вероятность события А — получить белый шар при каждом извлечении — будет одна и та же, равная р. Эта задача была рассмотрена в § 12 и привела к биномиальному распределению (1.101). Иногда ее называют задачей на извлечение с возвращениями.
Предположим теперь, что извлеченные шары не возвращаются в урну. Тогда формула (1.101) неприменима, і IS] ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
61
так как вероятность события А будет все время меняться в зависимости от того, произошло или не произошло оно в предыдущем испытании. Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А произойдет т раз в схеме извлечений без возвращений.
