Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вероятность встретить хотя бы одну молекулу в объеме dv равна вероятности встретить точно одну молекулу в этом объеме, а также равна математическому ожиданию числа молекул в этом объеме. В самом деле, математическое ожидание числа молекул в бесконечно малом объеме есть бесконечно малая величина. Обозначим ее h. Тогда согласно формуле распределения Пуассона вероятность встретить ровно m молекул в этом объеме равна Iim/т\, поскольку e~h = 1. Следовательно, вероятность встретить точно одну молекулу равна h. Очевидно также, что вероятность встретить в этом объеме две молекулы или
OO
h
больше, равная , есть бесконечно малая второго
порядка в сравнении с А. Следовательно, вероятность встретить точно одну молекулу в объеме dv равна вероятности встретить там хотя бы одну молекулу. (92
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
Если плотность газа в цространстве является некоторой функцией положения точки, то каждая из трех величин: вероятность встретить хотя бы одну молекулу, вероятность встретить точно одну молекулу и математическое ожидание числа молекул в объеме dv равны % dv, где Я является фукцией координат и описывает закон распределения молекул в пространстве.
§ 25. Флуктуации физических величин
В заполняющем пространство газе мысленно выделим некоторый объем. Пусть математическое ожидание числа молекул в нем равно а. Действительное число молекул в объеме будет вследствие случайности непрерывно изменяться. Поэтому, хотя условия неизменны и макроскопически плотность газа все время постоянна, точно определяемая плотность, равная числу частиц, деленному на объем, все время меняется. Непрерывно меняется, следовательно, и давление.
Температура газа в объеме зависит от скорости молекул. Скорости молекул не одинаковы, они распределены по максвелловскому закону. В данный объем вследствие случайностей могут залетать преимущественно более быстрые или преимущественно менее быстрые молекулы, из-за чего средняя квадратическая скорость молекул, определяющая температуру газа, непрерывно меняется.
Отклонения физических величин от своего среднего значения, вызываемые случайностью, называются флук-туациями этих величин.
Если число частиц в некотором объеме равно я», то флуктуацией числа частиц мы назовем величину m — я», где »n — математическое ожидание числа частиц в этом объеме. Согласно закону Пуассона с ростом по абсолютной величине (при том же знаке) тп — я» вероятность данного значения т и, следовательно, данного значения флуктуации уменьшается. Таким образом, чем больше по абсолютной величине (при том же знаке) флуктуация, тем меньше вероятность ее появления. Для того чтобы оценить среднюю величину флуктуаций, нужно определить среднюю квадратичную величину флуктуации. Если рассматривается число частиц в некотором объеме, то средняя § 2 ">]
ФЛУКТУАЦИИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
93
квадратичная флуктуация числа частиц есть стандарт случайной величины — числа частиц в объеме. Как было ?оказано в § 23, стандарт этой случайной величины, задаваемой распределением Пуассона, равен Knt, где m — математическое ожидание числа частиц. Таким образом, средняя квадратичная флуктуация равна корню квадратному из среднего числа частиц.
Основной интерес представляет относительная средняя квадратичная флуктуация, т. е. отношение средней квадратичной флуктуации к среднему значению физической величины. В § 21 мы назвали эту характеристику вариацией.
Из предыдущего следует, что относительная средняя квадратичная флуктуация равна
^ = 7^- CT
m Vm
Таким образом, средняя квадратичная флуктуация тем меньше, чем больше число рассматриваемых частиц. Именно вследствие того, что на практике обычно имеют дело с объемами газа, среднее число частиц в которых очень велико, происходящие относительные случайные флуктуации плотности, давления, температуры и других характеристик ничтожно малы, почти не наблюдаемы.
Задача 50. В заполняющем пространстве газе, находящемся в нормальных условиях, мысленно выделены два кубических объема со сторонами 1 см и 10 миллимикрон. Определить относительные средние квадратичные случайные флуктуации плотности в этих объемах.
Решение. Среднее число молекул газа в 1 см3 при нормальных условиях (р = 760мм рт. ст. T = O0C) равно 2,687« IO19, а в кубе со стороной 10 миллимикрон — 26,87. Следовательно, согласно (2.78) относительные средние квадратичные флуктуации чисел молекул в этих объемах соответственно равны
1 —1,929 -IO"10,
V 2,687-IO19 1
у 26,87
S5 0,1929. C Jl У Ч АЙ H А И BK ЛIIЧ И H А
Ir Л. 2
Так как плотность в данном объемо пропорциональна числу молекул в этом объеме, то относительные среднеквадратичные флуктуации плотности в рассмотренных объемах равны соответственно тем же числам 1,929 -IO"10 и 0.1929.
Задача 51. Бесконечное пространство равномерно наполнено непрерывно распределенной светящейся материей, единица объема которой излучает ц единиц энергии в единичном телесном угле в единицу времени. В этом же пространств равномерно с естественными флуктуациями распределены темные облака с коэффициентом прозрачности q (коэффициентом прозрачности облака называется отношение энергии вышедшего из блока излучения к энергии вошедшего излучения). Вероятность встретить темное облако на пути ds равна х ds. Определить распределение поверхностной яркости X, наблюдаемое из произвольной точки О пространства.
