Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
oo
о2 = $ (г — г)2 / (г) dr = а стандарт
о 0,201-а""..
§ 22. Связь между моментами относительно различных начал
Рассмотрим моменты относительно начала Ь и выразим их через моменты относительно начала а:
oo oo
Kb= S (•t-bff(x)dx= 5 \{x-a) + (a-b)\*t(x)dx = —00 —00
к оо
= S Cik (а-ьу 5 {x-af~4{x)dx.
г =O —во
Таким образом,
к
Xklb = S Ci(а- Ь)1 Xjm,в. (2.61)
і =O
Если плотность вероятности } (х) задана в табличной форме, то моменты вычисляются при помощи приближенных формул для определенного интеграла. Центральный и начальные моменты обычно вычислять менее удобно, чем моменты относительно начала а, когда а выбрано удачно. Если а принять целым и близким к Ж (это нетрудно сделать на глаз), то в выражении (2.48) множитель, стоящий перед / (х), вычисляется проще, чем аналогичный множитель в (2.53); в то же время этот множитель в среднем меньше, чем аналогичный множитель в (2.50). Поэтому сначала вычисляют моменты относительно начала а, удобно выбранного, целого и близкого на глаз к а затем перехо- і 23] МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА
85
дят к начальный и центральным моментам. Нужные формулы содержатся в (2.61).
Если положить Ь = О, то Xh)0 = vk. Поэтому
к
Vfc = S CWU-i,a. (2.62)
1=0
В частности,
X = V1 = Xlra + а. (2.63)
Если же принять Ъ = X, то в левой части (2.61) моменты центральные, поэтому
к
Ц* = 2 C1k (а- X)* Х*_і)ОІ
i=0
и, учитывая (2.63), находим
к
^ = 2(- I)' ^laXk-i,а. (2.64)
i=0
В частности,
И-г = X2i0 — Х\А, (2.65)
1*8 = X8l0 — 3XliaX8i(, + 2Xf,a, (2.66)
fi* = Xt,a - 4Х1івХзів + 6Х?,Л,а - ЗХ},в. (2.67)
Если в (2.65) принять а = 0, то получим уже ранее выведенную формулу (2.57):
Ji2 = V2 - V1*. (2.68)
§ 23. Моменты распределения Пуассона
Пусть случайная величина nt имеет распределение Пуассона (2.17). Определим математическое ожидание функции
Tk = W(W—1)...(W —s), s< nt; Tb = O, s> ю. Согласно (2.42)
Mr), = 2 тп(т — \)... (т. —.
.-а
, a е
ml 8<m (86
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
Первые $4-1 слагаемых в сумме обращаются в нуль, поэтому
00 „
тп -ct
Mla= S m(m — i)...(m — s) ^r =
Hl=S-I-I
_ -Sn а»1-«+1е-а
= a'+l 2j (W_s + l)t • Tn=S+1 v '
Введем новый индекс слагаемых в сумме к, связанный со старым индексом равенством
к = тп — s-f 1.
Тогда получаем
00 к а
JIZris = a8+1 2 = o«+i. (2.69) fc=o
В частности, при s=0 Ti0 = nt, и согласно (2.69)
Mnt = а. (2.70)
Таким образом, параметр а, фигурирующий в распределении Пуассона, есть математическое ожидание случайной величины.
При s=l Tj1 = nt (nt — 1) и согласно (2.69)
M [nt (от - 1)] = M (nt8 - nt) = Mttt8 - Mnt = а8.
(2.71)
Из (2.71) и (2.70) находим
Mnt8 = а8 4- а (2.72)
и, используя выражение (2.57) для дисперсии, получаем
Dttt =Gt8 + а — а8 = а. (2.73)
Таким образом, дисперсия распределения Пуассона равна математическому ожиданию этого распределения.
Задача 47. С катода вылетает в среднему электронов в единицу времени. Какова вероятность того, что за промежуток времени A t с катода вылетит ровно тп электронов?
Решение. Среднее число электронов, вылетающих за время Д?, равно g&t. Следовательно, вероятность того, і 23] МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА
87
что за время вылетит ровно т электронов, равна
/>И = УЧл—•
Задача 48. Как известно, среднее число звезд до то-й видимой величины, т. е. ярче т-й видимой величины (меньшим звездным величинам соответствует больший блеск), приходящихся на квадратный градус неба, зависит от галактической широты. Считая, что для некоторого значения галактической широты среднее число звезд до данной величины N (то) известно, найти вероятность того, что в некоторой площадке размером в 1 кв. градус, расположенной на этой широте: 1) не будет звезд с видимыми величинами, заключенными между Dt1 и тпг (тої < m2); 2) ярчайшая звезда будет иметь видимую величину я», заключенную в промежутке [m, то -}- dm]; 3) найти математическое ожидание и дисперсию видимой величины ярчайшей звезды.
Решение. Среднее число звезд с видимой величи-чиной, меньшей то, равно N (тп). Поэтому среднее число звезд с видимыми величинами, заключенными в промежутке [m,, To2], равно N (To8) — N (тої). Вероятность встретить ровно к звезд с видимыми величинами, заключенными в промежутке Ito1, m2], согласно распределению Пуассона равна
р (к) = -i- [N (To2) — N (mi)]k е-№">-"<т>>].
Вероятность не иметь ни одной звезды в этом промежутке (к = 0), следовательно, равна
e-[7V(m,)-7V(m1)]> (2.74)
Вероятность того, что не встретится звезда в промежутке [то, то -H dm], равна
-[fV(m+dm)-fV(m)] _ -N'(m)dm С —— Є У
а вероятность встретить звезду с видимой величиной в этом промежутке есть
1 _ e-N'(m)d>n = N> (m) dm (2.75) (88
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
Функция N (т) — математическое ожидание числа звезд до видимой величины т непрерывна и дифференцируема.
Так же как было найдено (2.74), найдем, что вероятность не встретить ни одной звезды с видимой величиной меньшей тп равняется
