Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 24

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 71 >> Следующая


oo

о2 = $ (г — г)2 / (г) dr = а стандарт

о 0,201-а""..

§ 22. Связь между моментами относительно различных начал

Рассмотрим моменты относительно начала Ь и выразим их через моменты относительно начала а:

oo oo

Kb= S (•t-bff(x)dx= 5 \{x-a) + (a-b)\*t(x)dx = —00 —00

к оо

= S Cik (а-ьу 5 {x-af~4{x)dx.

г =O —во

Таким образом,

к

Xklb = S Ci(а- Ь)1 Xjm,в. (2.61)

і =O

Если плотность вероятности } (х) задана в табличной форме, то моменты вычисляются при помощи приближенных формул для определенного интеграла. Центральный и начальные моменты обычно вычислять менее удобно, чем моменты относительно начала а, когда а выбрано удачно. Если а принять целым и близким к Ж (это нетрудно сделать на глаз), то в выражении (2.48) множитель, стоящий перед / (х), вычисляется проще, чем аналогичный множитель в (2.53); в то же время этот множитель в среднем меньше, чем аналогичный множитель в (2.50). Поэтому сначала вычисляют моменты относительно начала а, удобно выбранного, целого и близкого на глаз к а затем перехо- і 23] МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

85

дят к начальный и центральным моментам. Нужные формулы содержатся в (2.61).

Если положить Ь = О, то Xh)0 = vk. Поэтому

к

Vfc = S CWU-i,a. (2.62)

1=0

В частности,

X = V1 = Xlra + а. (2.63)

Если же принять Ъ = X, то в левой части (2.61) моменты центральные, поэтому

к

Ц* = 2 C1k (а- X)* Х*_і)ОІ

i=0

и, учитывая (2.63), находим

к

^ = 2(- I)' ^laXk-i,а. (2.64)

i=0

В частности,

И-г = X2i0 — Х\А, (2.65)

1*8 = X8l0 — 3XliaX8i(, + 2Xf,a, (2.66)

fi* = Xt,a - 4Х1івХзів + 6Х?,Л,а - ЗХ},в. (2.67)

Если в (2.65) принять а = 0, то получим уже ранее выведенную формулу (2.57):

Ji2 = V2 - V1*. (2.68)

§ 23. Моменты распределения Пуассона

Пусть случайная величина nt имеет распределение Пуассона (2.17). Определим математическое ожидание функции

Tk = W(W—1)...(W —s), s< nt; Tb = O, s> ю. Согласно (2.42)

Mr), = 2 тп(т — \)... (т. —.

.-а

, a е

ml 8<m (86

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

Первые $4-1 слагаемых в сумме обращаются в нуль, поэтому

00 „

тп -ct

Mla= S m(m — i)...(m — s) ^r =

Hl=S-I-I

_ -Sn а»1-«+1е-а

= a'+l 2j (W_s + l)t • Tn=S+1 v '

Введем новый индекс слагаемых в сумме к, связанный со старым индексом равенством

к = тп — s-f 1.

Тогда получаем

00 к а

JIZris = a8+1 2 = o«+i. (2.69) fc=o

В частности, при s=0 Ti0 = nt, и согласно (2.69)

Mnt = а. (2.70)

Таким образом, параметр а, фигурирующий в распределении Пуассона, есть математическое ожидание случайной величины.

При s=l Tj1 = nt (nt — 1) и согласно (2.69)

M [nt (от - 1)] = M (nt8 - nt) = Mttt8 - Mnt = а8.

(2.71)

Из (2.71) и (2.70) находим

Mnt8 = а8 4- а (2.72)

и, используя выражение (2.57) для дисперсии, получаем

Dttt =Gt8 + а — а8 = а. (2.73)

Таким образом, дисперсия распределения Пуассона равна математическому ожиданию этого распределения.

Задача 47. С катода вылетает в среднему электронов в единицу времени. Какова вероятность того, что за промежуток времени A t с катода вылетит ровно тп электронов?

Решение. Среднее число электронов, вылетающих за время Д?, равно g&t. Следовательно, вероятность того, і 23] МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

87

что за время вылетит ровно т электронов, равна

/>И = УЧл—•

Задача 48. Как известно, среднее число звезд до то-й видимой величины, т. е. ярче т-й видимой величины (меньшим звездным величинам соответствует больший блеск), приходящихся на квадратный градус неба, зависит от галактической широты. Считая, что для некоторого значения галактической широты среднее число звезд до данной величины N (то) известно, найти вероятность того, что в некоторой площадке размером в 1 кв. градус, расположенной на этой широте: 1) не будет звезд с видимыми величинами, заключенными между Dt1 и тпг (тої < m2); 2) ярчайшая звезда будет иметь видимую величину я», заключенную в промежутке [m, то -}- dm]; 3) найти математическое ожидание и дисперсию видимой величины ярчайшей звезды.

Решение. Среднее число звезд с видимой величи-чиной, меньшей то, равно N (тп). Поэтому среднее число звезд с видимыми величинами, заключенными в промежутке [m,, To2], равно N (To8) — N (тої). Вероятность встретить ровно к звезд с видимыми величинами, заключенными в промежутке Ito1, m2], согласно распределению Пуассона равна

р (к) = -i- [N (To2) — N (mi)]k е-№">-"<т>>].

Вероятность не иметь ни одной звезды в этом промежутке (к = 0), следовательно, равна

e-[7V(m,)-7V(m1)]> (2.74)

Вероятность того, что не встретится звезда в промежутке [то, то -H dm], равна

-[fV(m+dm)-fV(m)] _ -N'(m)dm С —— Є У

а вероятность встретить звезду с видимой величиной в этом промежутке есть

1 _ e-N'(m)d>n = N> (m) dm (2.75) (88

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

Функция N (т) — математическое ожидание числа звезд до видимой величины т непрерывна и дифференцируема.

Так же как было найдено (2.74), найдем, что вероятность не встретить ни одной звезды с видимой величиной меньшей тп равняется
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 71 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed