Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, если математическое ожидание случайной величины, распределенной согласно закону Пуассона, мало, то асимметрия и эксцесс распределения велики, распределение сильно отличается от нормального. Если математическое ожидание случайной величины велико, то асимметрия и эксцесс распределения Пуассона малы, оноХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
103
близко к нормальному распределению. Так как асимметрия положительна, то в распределении Пуассона мода случайной величины всегда меньше ее математического ожидания.
§ 28. Характеристическая функция случайной величины
Характеристической функцией случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины е1(Х:
OO
Ф (t) = Meitx = 5 eitxf{x)dx. (2.100)
—oo
Выполняемая согласно (2.100) операция с функцией / (х), в результате чего получается функция Ф (t), называется преобразованием Фурье функции / (х). Таким образом, характеристическая функция есть результат преобразования Фурье плотности вероятности случайной величины.
В теории функций комплексного переменного доказывается, что функция Ф (t) также однозначно определяет функцию / (ж) при помощи преобразования
OO
/(*)= 5 (OA, (2.101)
—00
которое называется обратным преобразованием Фурье. Рассмотрим А-ю производную характеристической функции
OO
ф»>(*) = І* 5 x*eltxf(x) dx. (2.102)
—OO
Для того чтобы выполненное дифференцирование к раз интеграла по параметру t было законным, достаточно, чтобы несобственный интеграл в (2.102) был ограничен. А для этого достаточно, чтобы у случайной величины существовал абсолютный начальный момент А-го порядка:
OO
Л/I - I I.гI*f(r)dr, (2.103)
ч-»00104
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ігл. г
В самом деле, тогда
oo oo
I 5 tf*|< jj \x?f(x)dx,
—ос —оо
и интеграл (2.102) ограничен.
Положим теперь в равенстве (2.102) t = 0:
OO
<D(fc)(0) = I* 5 x*f(x)dx = іЧ. (2.104)
—OO
Таким образом,
Vfc «= MXi « Г*Ф<*> (0). (2.105)
Чтобы получить начальный момент к-то порядка случайной величины, достаточно помножить на Г* к-ю производную характеристической функции при значении аргумента, равном нулю.
Задача 53. Найти характеристическую функцию нормально распределенной случайной величины.
Решение. Согласно определению характеристическая функция равна
00 Ix-Xyt
і Г» Их—
Ф<" = TTlsrSe -
—со х_JF
Выполняя подстановку z = —---its и используя интеграл Пуассона, получаем
ixt- 4- оЧ»
Ф (t) = e 2 . (2.106)
Согласно правилу (2.105) найдем, например, начальный момент третьего порядка:
V3 = Г»{[(гГ - оЧ? - 3 (iX - аН) бг] Г' Т 0Vo =
= %(№ + %*).
Это соотношение можно получить и непосредственным вычислением момента.
Задача 54. Найти характеристическую функцию распределения Пуассона.$ 29] ИНТЕГРAJIbHOlS ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ 105
Решение. Находим
OO
л-«-»1™
ФЮ = 2 Є"'" "У--
таф
OO
= C-Haeit 2 -^r - e«{elLl>. (2.107)
т=о
Определим начальный момент второго порядка, для чего используем (2.105):
V2 = Г2[ — ае" (аеи + 1) е«^1-»],^, = а2 + а.
Этот результат уже встречался ((2.94)).
Задача 55. Найти характеристическую функцию биномиального распределения.
Решение. Согласно определению
п
Ф (о = 2 ei'fflwl JlmiI pn,«n-m = (Peit + ?)" (2-108)
in=о
Начальный момент второго порядка равен
V2 = Г2 [(pe1' + g)")Eo = (np)2 + npq. Согласно (2.68) дисперсия биномиального распределения о2 = (пр)% + npq - (npf = npq. (2.109)
§ 29. Интегральное представление дельта-функции
Используя метод характеристических функций, найдем интегральное представление дельта-функции. Подставим (2.100) в (2.101):
oo oo
/(*) = ^r J eitx dt J e«*f(t)dt = —00 —00
oo oo
= 5 m[ir I ^uu-"* A] dfc. (2-110)106
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ігл. г
Т. Є.
Сравнивая (2.38) и (2.110), приходим к формальному равенству
OO
A® -*)"-ST U em")dt> —00
os
= U e*lxdt' (2ли>
Выражение (2.111) является интегп».ііньш представлением дельта-функции.
Рассмотрим теперь интеграл
а
J б (x-x0)dx, (2.112)
—а
который, очевидно, равен 1, если | х0| <а, и равен О в противоположном случае. Используя интегральное представление дельта-функции, этот интеграл можно написать в виде
а оо
JLjj d* $
—в —OO
= J eitx» dt J (cos tx і sin tx) dx =
—oo —o
-і-
—00
Таким образом, интеграл
J Sinet^ttft (2 Ш)
равен 1, если I X0 I <а, и равен О в противоположном
случае.S 301
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
107
§ 30. Интеграл вероятностей
Определим вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X примет значение, заключенное между I —а и Г +а, где а — некоторая положительная величина,
Х+л (х-Х)'
Р(Х-а<Х<Х + а) = J —L-e ** dx. (2.114)
Х-а
Перейдем к новой переменной интегрирования
1 а •
н учтя свойство интеграла от четной функции, напишем (2.114) в виде
__а/о__1_(,
Р(Г-а<Х<Г + а) = у-L J е » dt. (2.115
о
Правая часть (2.115) есть функция верхнего предела интеграла. Эта функция
_г _