Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 29

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 71 >> Следующая


Таким образом, если математическое ожидание случайной величины, распределенной согласно закону Пуассона, мало, то асимметрия и эксцесс распределения велики, распределение сильно отличается от нормального. Если математическое ожидание случайной величины велико, то асимметрия и эксцесс распределения Пуассона малы, оно ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

103

близко к нормальному распределению. Так как асимметрия положительна, то в распределении Пуассона мода случайной величины всегда меньше ее математического ожидания.

§ 28. Характеристическая функция случайной величины

Характеристической функцией случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины е1(Х:

OO

Ф (t) = Meitx = 5 eitxf{x)dx. (2.100)

—oo

Выполняемая согласно (2.100) операция с функцией / (х), в результате чего получается функция Ф (t), называется преобразованием Фурье функции / (х). Таким образом, характеристическая функция есть результат преобразования Фурье плотности вероятности случайной величины.

В теории функций комплексного переменного доказывается, что функция Ф (t) также однозначно определяет функцию / (ж) при помощи преобразования

OO

/(*)= 5 (OA, (2.101)

—00

которое называется обратным преобразованием Фурье. Рассмотрим А-ю производную характеристической функции

OO

ф»>(*) = І* 5 x*eltxf(x) dx. (2.102)

—OO

Для того чтобы выполненное дифференцирование к раз интеграла по параметру t было законным, достаточно, чтобы несобственный интеграл в (2.102) был ограничен. А для этого достаточно, чтобы у случайной величины существовал абсолютный начальный момент А-го порядка:

OO

Л/I - I I.гI*f(r)dr, (2.103)

ч-»00 104

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ігл. г

В самом деле, тогда

oo oo

I 5 tf*|< jj \x?f(x)dx,

—ос —оо

и интеграл (2.102) ограничен.

Положим теперь в равенстве (2.102) t = 0:

OO

<D(fc)(0) = I* 5 x*f(x)dx = іЧ. (2.104)

—OO

Таким образом,

Vfc «= MXi « Г*Ф<*> (0). (2.105)

Чтобы получить начальный момент к-то порядка случайной величины, достаточно помножить на Г* к-ю производную характеристической функции при значении аргумента, равном нулю.

Задача 53. Найти характеристическую функцию нормально распределенной случайной величины.

Решение. Согласно определению характеристическая функция равна

00 Ix-Xyt

і Г» Их—

Ф<" = TTlsrSe -

—со х_JF

Выполняя подстановку z = —---its и используя интеграл Пуассона, получаем

ixt- 4- оЧ»

Ф (t) = e 2 . (2.106)

Согласно правилу (2.105) найдем, например, начальный момент третьего порядка:

V3 = Г»{[(гГ - оЧ? - 3 (iX - аН) бг] Г' Т 0Vo =

= %(№ + %*).

Это соотношение можно получить и непосредственным вычислением момента.

Задача 54. Найти характеристическую функцию распределения Пуассона. $ 29] ИНТЕГРAJIbHOlS ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ 105

Решение. Находим

OO

л-«-»1™

ФЮ = 2 Є"'" "У--

таф

OO

= C-Haeit 2 -^r - e«{elLl>. (2.107)

т=о

Определим начальный момент второго порядка, для чего используем (2.105):

V2 = Г2[ — ае" (аеи + 1) е«^1-»],^, = а2 + а.

Этот результат уже встречался ((2.94)).

Задача 55. Найти характеристическую функцию биномиального распределения.

Решение. Согласно определению

п

Ф (о = 2 ei'fflwl JlmiI pn,«n-m = (Peit + ?)" (2-108)

in=о

Начальный момент второго порядка равен

V2 = Г2 [(pe1' + g)")Eo = (np)2 + npq. Согласно (2.68) дисперсия биномиального распределения о2 = (пр)% + npq - (npf = npq. (2.109)

§ 29. Интегральное представление дельта-функции

Используя метод характеристических функций, найдем интегральное представление дельта-функции. Подставим (2.100) в (2.101):

oo oo

/(*) = ^r J eitx dt J e«*f(t)dt = —00 —00

oo oo

= 5 m[ir I ^uu-"* A] dfc. (2-110) 106

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ігл. г

Т. Є.

Сравнивая (2.38) и (2.110), приходим к формальному равенству

OO

A® -*)"-ST U em")dt> —00

os

= U e*lxdt' (2ли>

Выражение (2.111) является интегп».ііньш представлением дельта-функции.

Рассмотрим теперь интеграл

а

J б (x-x0)dx, (2.112)

—а

который, очевидно, равен 1, если | х0| <а, и равен О в противоположном случае. Используя интегральное представление дельта-функции, этот интеграл можно написать в виде

а оо

JLjj d* $

—в —OO

= J eitx» dt J (cos tx і sin tx) dx =

—oo —o

-і-

—00

Таким образом, интеграл

J Sinet^ttft (2 Ш)

равен 1, если I X0 I <а, и равен О в противоположном

случае. S 301

ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

107

§ 30. Интеграл вероятностей

Определим вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X примет значение, заключенное между I —а и Г +а, где а — некоторая положительная величина,

Х+л (х-Х)'

Р(Х-а<Х<Х + а) = J —L-e ** dx. (2.114)

Х-а

Перейдем к новой переменной интегрирования

1 а •

н учтя свойство интеграла от четной функции, напишем (2.114) в виде

__а/о__1_(,

Р(Г-а<Х<Г + а) = у-L J е » dt. (2.115

о

Правая часть (2.115) есть функция верхнего предела интеграла. Эта функция

_г _
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 71 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed