Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 28

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 71 >> Следующая


1.5

1.6

1.7

1.8 1,9 2,0 2,1 2,2

2.3

2.4

2.5

2.6

Ь1 2,8

2.0

0,12952

0,11092

0,09405

0,07895

0,06562

0,05399

0,04398

0,03547

0,02833

0,02239

0,01753

0,01358

0,01042

0,007915

0,005953

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4 $ 27] АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 99

записывается так:

с

/(') = 7We (2-87)

т. е. является нормальной функцией со средним, равным нулю, и дисперсией, равной единице. В таблице 1 даны значения функции (2.87) для различных значений аргумента.

Используя зависимость (2.86), можно по таблице 1 найти плотность вероятности^ и для любого значения х, когда известны его среднее X и дисперсия о.

§ 27. Асимметрия и эксцесс распределения

Напишем выражение для центрального момента А-го порядка нормальной функции и применим к интегралу формулу интегрирования по частям:

fceTTT201 ^ =

—ее

і X , <«-*>•

—od

Результат показывает, что для нормального распределения справедлива рекуррентная формула

Pft = (A-I)62^8. (2.88)

Если к нечетно, то применение формулы (2.88) после-к — 1

довательно —g— раз приведет правую часть равенства к

произведению, содержащему множитель р,,, который, как было показано, ((2.54)) всегда равен нулю. Следовательно, все нечетные центральные моменты нормальной функции равны нулю. Этот результат очевиден, так как нормальная функция является четной по отношению к аргументу (х — X). У всякого распределения, симметричного по отношению к некоторому значению X (это значение X равно X), все нечетные центральные моменты равпы нулю. (100

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

Близость к нулю нечетных центральных моментов можно рассматривать как критерий симметричности распределения. Обычно используют центральный момент третьего порядка как самый низкий (простой) из нечетных моментов (не считая Ji1, который равен нулю для любых распределений). Чтобы величина, являющаяся критерием асимметрии, была безразмерной, рассматривают отношение Ш к

As = -^. (2.89)

14

Чем больше As по абсолютной величине, тем более несимметричным можно считать распределение. Однако этот

Рис. 11.

критерий не является строгим, так как равенство нулю As является необходимым для симметричности распределения, но не является достаточным условием.

Рис. 12.

Значение Ami при котором плотность вероятности X имеет максимум, называется модой случайной величины X. Основное значение для практики имеют случайные величины с одной модой. Такие распределения случайных величин называются одновершинными. 8 27] АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

101

Если плотность вероятности случайной величины симметрична относительно некоторого значения случайной величины, то это значение случайной величины совпадает с ее математическим ожиданием и, у одновершинного распределения, с модой. Если же распределение не симметрично, то в общем случав мода Дш и математическое ожидание X случайной величины различны (рис. 11 и рис. 12). Если асимметрия распределения случайной величины (и, следовательно, центральный момент третьего порядка) положительна, то мода случайной величины меньше ее математического ожидания (см. рис. 11). При отрицательной асимметрии мода случайной величины больше ее математического ожидания. Мерой асимметрии может также служить отношение

Если к является четным числом, то, применяя формулу

(2.88) к/2 раз, получим для нормального распределения соотношение

Jifc = (к - 1)!! ok. (2.90)

В частности,

Ц4 = Зо4. (2.91) Следовательно, безразмерная величина

Ex = — 3 (2.92)

V-I

для нормального распределения равна нулю. В общем же случае эта величина, называемая эксцессом, отлична от нуля.

Нормальная функция в теории вероятностей и математической статистике играет роль некоторой стандартной функции, с которой уместно сравнивать другие функции распределения, определять, насколько эти функции отличаются от нормальной функции. Асимметрия (2.89) и эксцесс (2.92) являются двумя важнейшими показателями отличия функции распределения от нормальной.

Задача 52. Определить асимметрию и эксцесс распределения Пуассона. (102

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

Решение. Напишем полученное для распределения Пуассона равенство (2.69) при значениях s = 1, 2, 3, 4:

Mm = а, Af(W2-W) = а2, (2.93)

M (Ws - 3w2 + 2m) = а», M(W4 - 6ws + Ilw2 — 6w) = а4.

Используя обозначение vfc = Mxak для начальных моментов и решая систему (2.93) относительно них, получаем

V1 = а, V8 = а2 + а,

V, = а8 + За* + а, (2.94)

V4 = а* + 6а8 + 7а8 + а.

Применяя теперь формулы (2.65) — (2.67) связи между моментами относительно разных начал (которые, разумеется, верны и для начальных моментов), получаем

Ji8 = а, (2.95)

ji, = а, (2.96)

Ji4 = а + За2. (2.97)

Выражение (2.95) было уже получено ранее. Равенство (2.96) позволяет получить асимметрию распределения Пуассона

As = = (2'98>

а равенство (2.97) — его эксцесс

Ех = ІЦ^--3 = 4-. (2.99)
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 71 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed