Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, если х < 1, то
f (у) = ** silt2X
' w 2(1 - VrI — х*) V1 -x»siti«x '
причем % ириіиімает значения в промежутке
[0.?. (72
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
Если к> 1, то преломление происходит при значениях
я»
О <а < J- Постоянная с = 1,
fM - x8sin2X МА; '2 Vi-**sin»X '
причем X принимает значения в промежутке [0, arcsin ^l.
Задача 41 (опыт Резерфорда). Параллельный пучок а-частиц, прйдя сквозь тонкий лист золота, в результате взаимодействия с ядрами атомов золота рассеивается. Угол V — отклонение от первоначального направления — определяется равенством
. V Mv3
где M — масса а-частицы, е — ее заряд, ке — заряд ядра атома, V — скорость а-частицы, р — прицельное расстояние, т. е. то наименьшее расстояние между а-части-цей и ядром атома, которое было бы, если бы взаимодействие отсутствовало и а-частица летела все время по прямой линии. Найти распределение углов v после прохождения а-частицами листа золота.
Решение. Скорости а-частиц потока одинаковы. Но различны их прицельные расстояния. Доля прицельных расстояний, заключенных в интервале [р, р + dp], пропорциональна 2яр dp. Поэтому
/ (р) dp = C1P dp.
Используя зависимость между р и v, находим
V
cos -jj-
/ (v) dv = / (p) dp = cipdp = C2-~ dv.
sin» ~y
Если ввести в рассмотрение элементарный телесный угол dQ = 2л sin V dv
V .
и. учтя, что углы у малы, положить соя — S= 1, то ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
окончательно получим
/(v)d(J=—
sin< —
§ 19. Дельта-функция
С физической точки зрения дельта-функция — это плотность единичной массы, сосредоточенной в нуле. Такому пониманию соответствуют формальные равенства
б (ж) = О при хфО,
ь
$6(z)da:=l, о<0<Ь. (2.37)
а
Для любой обычной функции, однако, эти равенства противоречат друг другу: интеграл от функции, удовлетворяющей первому из них, равен нулю.
Предположим, что д (х) — функция, равная нулю вне малой окрестности точки 0 и принимающая настолько большие положительные значения вблизи нуля, что выполняется второе из соотношений (2.37). Тогда, как показывают несложные вычисления, для любой непрерывной
OO
функции т| (я) значение интеграла § i\(x)8(x)dx близко
—OO
к т) (0). Эти соображения приводят к определению дельта-функции как операции, ставящей в соответствие каждой непрерывной функции Т) (х) ее значение в нуле, что символически записывается в виде равенства
OO
§ Т](х)6{х)dx = TI(O). —00
Непосредственно из определения вытекает соотношение
OO
5 Tl (ж 4-Z0) б (ж) da: = Ti(Z0),
—OO
где х0 — произвольная фиксированная точка. Если бы в последнем соотношении б (х) было обычной функцией, (75
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
его можно было бы переписать в виде
Oo
5 Г] (х) 6 (я — X0) dx = (X0). (2.38)
—со
Оказывается, что во многих случаях, формально считая 8 обычной функцией, приходят к правильному результату в выкладках, разумеется, не забывая о том, что «зашифровано» в записи (2.38).
Дельта-функцию можно использовать для введения плотности вероятности в случае дискретной случайной величины. В самом деле, покажем, что
/(X) = ^piS(X-Xi) (2.39)
можно рассматривать как плотность вероятности X.
Согласно (2.21) интегральный закон распределения определится равенством
X X
F(x)= J ^iPiS(I-Xi)dl = ^pi J o?-xOdE. (2.40) —00 І І —00
Если X > Xi, то соответствующая вероятность pt входит в знак суммы в правой части (2.40). Если же К х(, то
X
I S(I-Xl)Cll = O —00
и соответствующее pi в сумму (2.40) не входит. Таким образом, F (х) совпадает с (2.5) — интегральным законом распределения для дискретной случайной величины; следовательно, / (х) есть плотность вероятности.
Совершенно так же убеждаемся, например, в справедливости равенства
ь ь
P(a^x<^b) = § 2 А** (я — xi) dx = 2 Pi 5 в (^c — Xi)dx.
а і і а
Введение при помощи дельта-функции плотности вероятности дискретной случайной величины позволяет S 20]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
75
применять одну и ту же форму записи операций для дискретных и непрерывных случайных величин.
Задача 42. Определить плотность вероятности для случайной величины — количества очков при бросании игральной кости.
Решение. Случайная величина принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое с вероятностью 1/6. Поэтому
(
ж = — S o(x-t). і—1
З а д а ч а 43. Определить плотность распределения скоростей частиц относительно центра инерции системы, состоящей из двух движущихся навстречу друг другу со скоростью а потоков частиц. Частицы, принадлежащие одному потоку, имеют равные скорости, и число частиц в потоках одинаково.
Решение, га частиц имеют скорость а и столько же частиц имеют скорость —о, поэтому
/» =-j-[o(i> —а) + 6(г; + а)].
§ 20. Математическое ожидание функции от случайной величины
Если / (х) есть плотность вероятности случайной величины X, а т) (X) — некоторая функция от этой случайной величины, то величина Mr\ (X), определяемая равенством
со
AfTi (X) в 5 Tl (x)f(x)dx, (2.41)
называется математическим ожиданием т) (X). Прописная буква М, ставящаяся перед обозначением функции, используется как знак математического ожидания. Математическое ожидание случайной величины не есть случайная величина. Это постоянная величина, определяемая согласно (2.41) функцией т] (х) и законом распределения случайной величины. Она имеет смысл среднего ожидаемого значения т] (X) при выполнении испытаний. (76
