Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 71

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 >


дфо (т,у) в у а'фо(т,у) = ^ * i=i dVi

в частности, описывает диффузию (распространение вследствие теплопроводности) тепла в однородном материале. Коэффициент В есть коэффициент теплопроводности.

Функция (5.149) при заданном обобщении запишется так:

Фо(х, At, у — х) =

3

}. (5.162)

= (InBAtyz i exp j.- If J + і 73] УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА — ФЕЛЛЕРА 201

Первое и второе уравнения Колмогорова принимают соответственно вид

Эфо(х;т,у) , Yjt Эфо(х.т.у)

at tVZlЛіХі Щ і—1

(5.163)

з

~ 4- 2 Bi -S- tWo (х; т, у)] = 0. (5.164) і—і

При равноправности компонентов случайной функции-вектора коэффициенты At = А и Bi = В, і = 1, 2, . . . ...,п.

Уравнения (5.163) и (5.164) описывают тогда, например, случайную функцию-вектор скорости броуновской частицы в изотропном трехмерном пространстве. Второй член уравнения (5.164) учитывает вязкость, а третий член — диффузию в пространстве скоростей. Соответственно коэффициенты AaB называются коэффициентами трения и диффузии.

§ 73. Уравнения Колмогорова — Феллера для чисто разрывного марковского процесса

Чисто разрывный случайный процесс был определен как такой процесс, в котором случайная функция, принявшая в момент t значение х, в течение времени Дt с вероятностью 1 — р (t, х) At -f- о (At) остается неизменной и лишь с вероятностью р (t, х) At + о (At) претерпевает изменение. Вероятность того, что при этом она примет значение, заключенное в промежутке [у, у + dy] обозначим S (t, X; у) dy. Пусть, как обычно, <р (t, х; т, у) dy есть вероятность того, что случайная функция, принявшая в момент t значение х, в момент т примет значение в промежутке [у, у + dy]. Тогда, на основании теоремы сложения и умножения вероятностей, справедливо 262

СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ

[ГЛ. 5

равенство

ф (J, х; J + At, у) dy=[l — р (J, х) At +о (AJ)I б (у — x)dy + + [р (J, х) At + о (AJ)] ? (J, х; у) dy. (5.165) Напишем уравнение Колмогорова — Чепмена:

OO

ф (J, х; х, z) = 5 ф (*. X-, t + At, у) ф (J + At, у; х, z) dy (5.166) —00

и подставим в него выражение (5.165). Получим

OO

Ф (J, X] X, z) = J {[l-.p(J,;r)AJ + o(Af)]6(y-a;) + —00

+ Ip(J, X) AJ + о(AJ)] l(t,x-,у))ф(J + At,у; X,z)dy. (5.167) Так как

OO

5 ф(J + At, у; X,z)&(y — x)dy = q>(t + At,х; х,z),

—00

то (5.167) можно переписать в виде

<р (t + At, X, z) — <р (t, х; т, z) _ j"^ ^ ^ Q(At) j ^ X Ф(Л- AJ, ?-, X,z)— [р (J, X) + ^IJ X

OO

X J t(t,x;y)<p(t + At,y,x,z)dy. (5.168) —00

Совершая предельный переход при At 0, получим

00

- 5 ?(J, я; у) ф (J, у; т, z) dy]. (5.169)

—00

Это есть первое уравнение Колмогорова — Феллера. Напишем теперь уравнение Колмогорова — Чепмена в виде

OO

q>(t,x-,x + Ax,z)dz = dz $ ф(J,х\ х, у)ф(т, у; х -f Ar, z)dy,

(5.170) I 73] УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА —• ФЕЛЛЕРА 263

и подставим в него равенство

ф (т, У, * + Дт, z) dz = [1— р (т, у) Дт+о (Дт)] б (z —у) + + Ip (т, у) Ax+о (Дт)] S (т, у; z) dz. (5.171)

Тогда, используя свойство o-фушщии, получим

Ф (f, х; X + Дт, z) =

= ф (*, х\ X, z) — ф (<, х; X, z) Ip (т, z) Ax+ о (Дт)] +

OO

+ $ ф (t, X-, X, у) [р (т, у) Дт +о (Дт)] ? (т, у, z) dy. (5.172)

—00

Перенося ф (t, X', X, z) в левую часть равенства, деля на At и совершая предельный переход при At -*• 0, получим второе уравнение Колмогорова — Феллера

Эф(*'?Т'2) - - P(*, «)ф(*,Si т,Z) + 00

+ $ p{*,y)Z{i,y\z)<p{t,xix,y)dy. (5.173) —00

Уравнения Колмогорова — Феллера являются линейными однородными интегро-дифференциальными уравнениями относительно искомой функции ф (t, Xi X, z).

Обозначим L (t, ж; z) dt dz вероятность того, что случайная функция, принявшая в момент t значение х, в течение промежутка времени dt претерпит скачок и примет при этом значение, заключенное в промежутке Izt Z + dz]. Легко видеть, что

L (t, х-, z) dt dz = р (t, x) ? (t, xi z) dt dz. (5.174)

Так как

оо

5 l(t,x;z)dz = 1 —»00

независимо от значений t и я, то

OO

5 L (t, Xi z)dz = р (t, х). (5.175)

—00

Следовательно, уравнения Колмогорова — Феллера для чисто разрывного случайного процесса могут быть 264

СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ

[ГЛ. 5

написаны в виде

и*

аФ(*,«;т,«) =у{t x.%iz) J L{ttX.y)dy_

—00

00

- 5 L (t, х; у) ф (*, у; т, z) dy, (5.176) —00

00

<Нр(М;т,*) = _у(,>а;;т>г) J L{x,z;y)dy +

—00

OO

+ 5 X (т, у; z) ф (*, х; т, у) dy. (5.177)

—00

Таким образом, для решения уравнений Колмогорова — Феллера необходимо знать одну функцию L (t, х; у).

Примером чисто разрывного марковского процесса можно считать процесс изменения скорости звезды в звездном поле. Скорость звезды изменяется в результате происходящих время от времени сближений со звездами поля. Расстояние между звездами очень велики, промежуток времени, в течение которого происходит сближение и интенсивное взаимодействие, очень мал в сравнении со средним промежутком времени между сближениями. Но 8а время сближения происходит существенное изменение скорости звезды. Поэтому процесс при некоторой идеализации можно считать чисто разрывным. Функция L (t, х; у) для чисто разрывного процесса — изменения скорости звезды в результате двойных сближений со звездами поля — была определена при решении задачи 79.
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 >
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed