Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
дфо (т,у) в у а'фо(т,у) = ^ * i=i dVi
в частности, описывает диффузию (распространение вследствие теплопроводности) тепла в однородном материале. Коэффициент В есть коэффициент теплопроводности.
Функция (5.149) при заданном обобщении запишется так:
Фо(х, At, у — х) =
3
}. (5.162)
= (InBAtyz i exp j.- If J + і 73] УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА — ФЕЛЛЕРА 201
Первое и второе уравнения Колмогорова принимают соответственно вид
Эфо(х;т,у) , Yjt Эфо(х.т.у)
at tVZlЛіХі Щ і—1
(5.163)
з
~ 4- 2 Bi -S- tWo (х; т, у)] = 0. (5.164) і—і
При равноправности компонентов случайной функции-вектора коэффициенты At = А и Bi = В, і = 1, 2, . . . ...,п.
Уравнения (5.163) и (5.164) описывают тогда, например, случайную функцию-вектор скорости броуновской частицы в изотропном трехмерном пространстве. Второй член уравнения (5.164) учитывает вязкость, а третий член — диффузию в пространстве скоростей. Соответственно коэффициенты AaB называются коэффициентами трения и диффузии.
§ 73. Уравнения Колмогорова — Феллера для чисто разрывного марковского процесса
Чисто разрывный случайный процесс был определен как такой процесс, в котором случайная функция, принявшая в момент t значение х, в течение времени Дt с вероятностью 1 — р (t, х) At -f- о (At) остается неизменной и лишь с вероятностью р (t, х) At + о (At) претерпевает изменение. Вероятность того, что при этом она примет значение, заключенное в промежутке [у, у + dy] обозначим S (t, X; у) dy. Пусть, как обычно, <р (t, х; т, у) dy есть вероятность того, что случайная функция, принявшая в момент t значение х, в момент т примет значение в промежутке [у, у + dy]. Тогда, на основании теоремы сложения и умножения вероятностей, справедливо 262
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
равенство
ф (J, х; J + At, у) dy=[l — р (J, х) At +о (AJ)I б (у — x)dy + + [р (J, х) At + о (AJ)] ? (J, х; у) dy. (5.165) Напишем уравнение Колмогорова — Чепмена:
OO
ф (J, х; х, z) = 5 ф (*. X-, t + At, у) ф (J + At, у; х, z) dy (5.166) —00
и подставим в него выражение (5.165). Получим
OO
Ф (J, X] X, z) = J {[l-.p(J,;r)AJ + o(Af)]6(y-a;) + —00
+ Ip(J, X) AJ + о(AJ)] l(t,x-,у))ф(J + At,у; X,z)dy. (5.167) Так как
OO
5 ф(J + At, у; X,z)&(y — x)dy = q>(t + At,х; х,z),
—00
то (5.167) можно переписать в виде
<р (t + At, X, z) — <р (t, х; т, z) _ j"^ ^ ^ Q(At) j ^ X Ф(Л- AJ, ?-, X,z)— [р (J, X) + ^IJ X
OO
X J t(t,x;y)<p(t + At,y,x,z)dy. (5.168) —00
Совершая предельный переход при At 0, получим
00
- 5 ?(J, я; у) ф (J, у; т, z) dy]. (5.169)
—00
Это есть первое уравнение Колмогорова — Феллера. Напишем теперь уравнение Колмогорова — Чепмена в виде
OO
q>(t,x-,x + Ax,z)dz = dz $ ф(J,х\ х, у)ф(т, у; х -f Ar, z)dy,
(5.170) I 73] УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА —• ФЕЛЛЕРА 263
и подставим в него равенство
ф (т, У, * + Дт, z) dz = [1— р (т, у) Дт+о (Дт)] б (z —у) + + Ip (т, у) Ax+о (Дт)] S (т, у; z) dz. (5.171)
Тогда, используя свойство o-фушщии, получим
Ф (f, х; X + Дт, z) =
= ф (*, х\ X, z) — ф (<, х; X, z) Ip (т, z) Ax+ о (Дт)] +
OO
+ $ ф (t, X-, X, у) [р (т, у) Дт +о (Дт)] ? (т, у, z) dy. (5.172)
—00
Перенося ф (t, X', X, z) в левую часть равенства, деля на At и совершая предельный переход при At -*• 0, получим второе уравнение Колмогорова — Феллера
Эф(*'?Т'2) - - P(*, «)ф(*,Si т,Z) + 00
+ $ p{*,y)Z{i,y\z)<p{t,xix,y)dy. (5.173) —00
Уравнения Колмогорова — Феллера являются линейными однородными интегро-дифференциальными уравнениями относительно искомой функции ф (t, Xi X, z).
Обозначим L (t, ж; z) dt dz вероятность того, что случайная функция, принявшая в момент t значение х, в течение промежутка времени dt претерпит скачок и примет при этом значение, заключенное в промежутке Izt Z + dz]. Легко видеть, что
L (t, х-, z) dt dz = р (t, x) ? (t, xi z) dt dz. (5.174)
Так как
оо
5 l(t,x;z)dz = 1 —»00
независимо от значений t и я, то
OO
5 L (t, Xi z)dz = р (t, х). (5.175)
—00
Следовательно, уравнения Колмогорова — Феллера для чисто разрывного случайного процесса могут быть 264
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
написаны в виде
и*
аФ(*,«;т,«) =у{t x.%iz) J L{ttX.y)dy_
—00
00
- 5 L (t, х; у) ф (*, у; т, z) dy, (5.176) —00
00
<Нр(М;т,*) = _у(,>а;;т>г) J L{x,z;y)dy +
—00
OO
+ 5 X (т, у; z) ф (*, х; т, у) dy. (5.177)
—00
Таким образом, для решения уравнений Колмогорова — Феллера необходимо знать одну функцию L (t, х; у).
Примером чисто разрывного марковского процесса можно считать процесс изменения скорости звезды в звездном поле. Скорость звезды изменяется в результате происходящих время от времени сближений со звездами поля. Расстояние между звездами очень велики, промежуток времени, в течение которого происходит сближение и интенсивное взаимодействие, очень мал в сравнении со средним промежутком времени между сближениями. Но 8а время сближения происходит существенное изменение скорости звезды. Поэтому процесс при некоторой идеализации можно считать чисто разрывным. Функция L (t, х; у) для чисто разрывного процесса — изменения скорости звезды в результате двойных сближений со звездами поля — была определена при решении задачи 79.
