Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ik(I) = Фке{»«'
энергия колебания пропорциональна значению, которое приняла случайная величина ФкФк. А величина (5.109), следовательно, пропорциональна математическому ожиданию энергии случайного колебания.
Таким образом, согласно (5.96) дисперсия случайной функции X (і) пропорциональна математическому 246
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ГЛ. 6
ожиданию суммарной энергии случайных гармонических колебаний, на которые функция X (t) разложена.
Совокупность частот гармонических колебаний, на которые разложена случайная функция X (t), причем каждой частоте соответствует некоторая ненулевая средняя энергия, образует как бы спектр, характеризующий случайную функцию. Отсюда выражение — спектральное представление случайной функции.
Предположим теперь, что в представлении (5.91) нумерация выполнена в соответствии с возрастанием Oh (с учетом знака). Кроме того, предположим, что п -*¦ оо, так что при этом наибольшее ив j tok+1 — a>h | -*¦ 0. Для того чтобы энергия суммы случайных гармонических колебаний при п -+¦ оо оставалась конечной, потребуем, чтобы каждое слагаемое в сумме (5.111) стремилось при этом к нулю. Совершая в сумме (5.106) при п -»- оо формальный предельный переход, получим стохастический интеграл Стилтьеса
OO
X(t) = J еїи»<ІФ (со). (5.113)
-oo
В этом интеграле йФ (ю) обозначает «случайную вели чину», определяющую амплитуду и фазу колебания, соответствующие «интервалу» частот da.
Условию центрированности случайных величин Фй в сумме (5.106) соответствует в стохастическом интеграле (5.113) условие центрированности «случайных величин» dФ (со) при любом значении со. Можно показать, что из этого следует условие центрированности и самой случайной функции Ф (<о)
M Ф (to) = 0. (5.114)
Условию некоррелированности случайных величин Фк и Фу в сумме (5.106) соответствует в интеграле (5.113) условие некоррелированности приращений функции Ф (со), которое можно при помощи дельта-функции записать так:
MldФ* (со)-йФ ((O1)] = S (со) б ((O1 - (о) da (fco,. (5.115)
S ((о) называется спектральной плотностью случайной функции X (t). Так как ДФ* (w) ДФ (<о) веществен- і 69] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 247
но и положительно, то и спектральная плотность, определяемая равенством
S (а) da da = M [d<D* (со)-йФ (©)],
вещественна и положительна. Поскольку согласно (5.109) Sh пропорционально энергии к-то гармонического колебания, то и iS (со) da пропорционально энергии, приходящейся на интервал частот da в интегральном представлении (5.113). Таким образом, спектральная плотность характеризует распределение по частотам энергии рассматриваемого случайного процесса.
Определим, используя спектральное разложение (5.113), корреляционную функцию случайной функции X(t):
K0 (т) = M [Х- (t) X{t + x)]=M [X* (0) X (T)] =
oo oo
= M J d<D* (со) J е^ЧФ (CO1).
—OO -OO
Меняя местами операцию интегрирования и операцию математического ожидания, находим, используя (5.115),
OO OO
K0 (т)= S J е^М [d(D (со) d<D (W1)] = —00 —00
OO OO
= jj S (со) da J (CO1 — со) ^co1. (5.Ц6)
-OO -во
На основании свойства б-функции (2.38) получаем
OO
K0 (т) = J S (со) е™Ча. (5.117)
-со
Таким образом, корреляционная функция есть преобразование Фурье спектральной плотности.
Выполняя обратное преобразование Фурье, находим
OO
S(а) = 4г J K0(X)e-^dX. (5.118)
-OO 248
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ІГЛ. 5
Задача 82. Набти спектральную плотность для случайного процесса, определенного в задаче 74.
Решение. Согласно решению задачи 74 корреляционная функция этого процесса для значений т < 1 имеет вид
K0 (т) = п (1 - т),
а для всех т > 1 равна нулю. Подставляя эти данные в (5.108), находим
і
5 (ш) =-i- $ п (1 — т) соз (сот) dx = ^ Siu4 . о
§ 70. Марковские процессы
Если условная вероятность того, что случайная функция примет в момент J2 ]> J1 значение в промежутке [х2, x2 + <&2] при условии, что поведение при J J1 не зависит от того, какие значения случайная функция принимала в моменты, предшествующие J1, то такая случайная функция называется процессом без последействия или марковским процессом. Обозначим
фп (к, S1; J2, х2; . . . ; J„, хп) dx2 dx9 . . . dxn (5.119)
условную вероятность события, состоящего в том, что случайная величина в моменты J2CJ3C... <J„ примет значения внутри промежутков (®t, X2 -j- dx2\, Is8, X9 + -f Ac8J, . . ., Isn, хп + dx„] соответственно при условии, что X (J1) = Xi.
Функция <р„ (J11 X1; J2, х2; . . .; Jn, хп) есть условная (п — 1)-мерная плотность вероятностей для моментов J21 J8,. . . , Jn при условии, что в момент J1 случайная функция приняла значение X1. На основании теоремы умножения вероятностей справедливо равенство
/п (tu ®i; h, X2; ...; Jn, хп) dxi dx2 ... dxn =
= А («і» Зі) dxiffn (J1, Xii t2, x2; ...; Jn, xn) dx2 dxs ... dxn,
(5.120)
где /„ (J1, Xi', t2, X2;. . .; Jn, xn) есть n-мерная плотность вероятности для моментов Jlt J1, . . ., Jn. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
249
Условная плотность вероятности обладает очевидным свойством:
