Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
д»в-п
cdt --і— ndt.
a!
Математическое ожидание числа выбросов на промежутке длиной T равно
al
Средняя длина пребывания случайной функции над уровнем а в промежутке длиной T равна
ът = т 2 4P-
к-о+г
Средняя длина одного выброса равна
? S <5.79)
Ь_ а\
с
к—а+1 238
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
Когда а -*• оо, то выражение (5.79) ведет себя как -^ZpT •
Это физически понятно, так как очень большое а означает очень большую положительную флуктуацию числа частиц в цилиндре.
В среднем на участке пути і/а должен будет произойти выход одной частицы, поэтому средняя длина выброса становится близкой к і/а.
Задача 81. Для ориентации космического корабля необходимо, чтобы в полосе неба длиной L единиц (L 1) и шириной в 1 единицу оказалась хотя бы одна квадратная со стороной в 1 единицу площадка с к звездами ярче m-й видимой величины. Математическое ожидание числа звезд до m-й величины в площадке в 1 кв. единицу вдоль всей полосы одинаково, равно N (т). Найти вероятность того, что космический корабль сможет произвести ориентировку. Воспользоваться решением задачи 78.
Решение. Расположим мысленно квадратную площадку на краю рассматриваемой полосы, а затем будем перемещать ее до противоположного края полосы. Путь, который она при этом пройдет, равен L — 1. Космический корабль сможет произвести ориентировку при одном из двух несовместимых событий, если 1) уже в начальном положении видимая величина к-й по яркости звезды меньше т; 2) видимая величина к-й по яркости звезды в начальный момент больше т, но при перемещении площадки происходит хотя бы один раз выброс видимой величины к-й звезды ниже уровня т.
Вероятность события 1) равна
т к
S ійг <-"(т0 N' (^) dm, = і- S . (5.80)
Для вычисления вероятности события 2) определим сначала вероятность выброса рассматриваемой случайной функции ниже т за время dt. Для этого вероятность того, что в точке со значением аргумента, равным t, видимая величина к-й по яркости звезды заключена в промежутке Im1, Tti1 + drrii], помножим на даваемую выражением (5.52) вероятность перехода в точке со значением аргумента t + dt к видимой величине к-й по яркости СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ
239
звезды в промежутке Im', т' + dm'] при условии т' С /Иі и проинтегрируем по т' от 0 до т, а по mt — от т до оо:
оо т к 1
т О
= Ji Nk (т) е~Щт) dt = cdt. (5.81)
Следовательно, математическое ожидание числа выбросов при изменении аргумента на L — 1 равно
-JjJrw Nk (т) e"iV(m) (L — 1), (5.82)
а вероятность события 2) равна
1 - exp Iw^w Nk И (L-I)] . (5.83)
Итак, вероятность того, что космический корабль сможет произвести ориентировку, равна
2 _ ^jj J^I _ exp Nk (т) (L-I)].
(5.84)
§ 67. Стохастический интеграл
В теории вероятностей часто приходится сталкиваться со стохастическим интегралом вида
ь
P= J Ti(J)X(J)A, (5.85)
а
где Tj (J) есть некоторая (не случайная) функция J, а X (J) есть случайная функция аргумента J. Для каждой реализации х (J) случайной функции X (J) интеграл (5.85) равен обычному интегралу Римана
о
Jri(J)x(J)dJ
(5.86) 240
случайная функция
[гл. 5
и случайная величина ? при данной реализации х (?) принимает значение (5.86).
В соответствии с обычным пониманием определенного интеграла стохастический интеграл также есть предел сумм,
ь
= Iim 2 (X) (<Г (5.87)
о
^r\(t)X(t)dt
причем выполняется условие: при л -*- оо длина наибольшего из интервалов t" — tt-i стремится к 0. Множество возможных реализаций случайной функции X (t) определяет множество значений случайной величины ?.
Если верхний предел стохатического интеграла (5.85) есть переменная величина т, то этот интеграл является случайной функцией аргумента т,
т
Р(т) = $т,(*)Х(*)<Й. (5.88)
Точно так же случайной функцией является стохастический интеграл
b
?(t)= \r\(t,x)X{t)dt. (5.89)
Другой тип стохастического интеграла определяется как интеграл Стилтьеса
т
P (T)=^T1(W). (5.90)
В этом интеграле каждой реализации у (t) случайной функции Y (t) соответствует интеграл Стилтьеса
X
\r\(t)dy(t),
(5.91) СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЙГРАгі
241
который отличается от интеграла Рииана тем, что под знаком интеграла стоит не дифференциал dt, а
dy (0 = y(t + dt)-y (t),
соответствующее дифференциалу di.
Аналогично, может рассматриваться случайная функция аргумента — параметра, от которого зависит стохастический интеграл Стилтьеса
ь
?(t) = \n(t,T)dY(t). (5.92)
а
Интеграл (5.92), как и предыдущие примеры стохастических интегралов, является пределом сумм
г
\ T,(*, x)dY(t) = lim Ят|(*Г, Т)[Г(<?) - F(Ci)I,
J Tl-.оо
a i=l
причем должно выполняться условие: шах (<" — ^1) стремится к 0, когда п -> оо.
Определим дисперсию стохастического интеграла (5.85). Будем при этом для простоты считать, что случайная функция X (t) центрированная, X (t) = 0. Тогда при некоторых широких условиях и M? = О
М [ Hm S тК*?)Х(*?)(<? - iti) J =
П Tl
= M Iim S S - ti-1) (« - tf-i)X(fi )Ж) =
