Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
n—°° І=1 k=l
n n
= lim S S Ч(ІЇМ%) (ff- ff-Ж - ff-i)M[X(ff)X(ff)] =
n—00 1=! k=l
b b
jj I HihMWh, Whdtt. (5.93)
Таким образом, дисперсия стохастического интеграла (5.93) выражается через корреляционную функцию. 242
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
§ 68. Комплексная случайная величина. Комплексная случайная функция
В § 28 мы уже рассматривали случайные величины вида eitx, принимающие комплексные значения. Остановимся на некоторых вопросах, относящихся к случайным величинам
X= U +iV, (5.94)
где U та. V — обычные вещественные случайные величины.
По определению MX = MU + iMV, поэтому для того чтобы комплексная случайная величина X была центрированной, необходимо ч достаточно, чтобы были центрированными обе вещественные случайные величины U и F.
Две комплексные случайные величины Xi = U1 + + iVt, Xt = Ut + iV2, называются некоррелированными, если
MXtXt = 0, (5.95)
где Xf = U1 — iVt есть сопряженная к X1 комплексная случайная величина.
Смешанный момент второго порядка целесообразно вводить в форме MX1 Xt с тем, чтобы при X1 = X1 начальный момент второго порядка
MX1 X1 = MiU1- W1) (U1 + IV1) = MUl + MVl (5.96)
получался вещественным.
Аналогично вводится понятие случайной функции с комплексными значениями
X (t) = U (J) + IV (J), (5.97)
где U (t) и V (J) — обычные вещественные случайные функции.
Математическое ожидание для X (J) определяется обычным образом:
X (J) = О (J) + iV (J). (5.98)
Корреляционная функция дается выражением К (J1, h) = M [X* (J1) - X* (J1)] IX (J2) - X (J2)], (5.99) і 69] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
243
где
X* (J) = ?7 (J) — iV (J) (5.100)
есть сопряженная комплексная функция.
Дисперсия случайной функции равна корреляционной функции при значеннях J1 = J2 = J
а\ (іІ) = К (J, J) = M [X* (J) - X* (J)] [X (J) - X (J)] =
= IIP (J) + F5 (J)] - IO (J)P - Iv (0? = oh (J) + O2v (J)
(5.101)
и является, следовательно, вещественной функцией.
Корреляционная функция (5.89) в общем случае не является вещественной.
Из (5.93) и (5.94) следует, что комплексная случайная функция X (J) является центрированной, если центрированы обе случайные функции U (J) и V (J).
Корреляционная функция комплексной стационарной центрированной случайной функции имеет вид
K0 (т) = M lX*(t) X (J + т)]. (5.102)
§ 69. Спектральное представление случайной функции
Спектральным представлением стационарной комплексной центрированной случайной функции называется представление ее в виде
п
X(J)= 2 ItfkCOS(WkJ)+ 7* sill (WftJ)], (5.103)
к—1
где а,; — некоторые (неслучайные) вещественные числа, a Uti, Vli {к = 1, 2,..., п) — центрированные некоррелированные случайные величины с попарно равными дисперсиями
DUli = DVls = Dli. (5.104)
Представление (5.103) имеет такую физическую интерпретацию. Каждое из слагаемых
Ih (t) = Uh cos ((OfeJ) + Vk sin ((OfeJ), (5.105) 244
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
также являющееся случайной функцией, ножно интерпретировать как гарыоническое колебание, имеющее определенную частоту ©л, случайную амплитуду JZr Ul + Vl и для значения аргумента t — случайную фазуагОД уг- +
+ CDjff. В каждой реализации случайной функции (5. $05) амплитуда гармонического колебания постоянна и для каждого значения t определена фаза колебания.
Таким образом, (5.103) есть сумма гармонических колебаний разных частот со случайными амплитудами и фазами. Для каждой реализации (5.103) есть сумма гармонических колебаний с определенными амплитудами и определенными (зависящими от t) фазами.
Использовав формулы Эйлера, перепишем (5.103) в виде
п
X{t)= 2 <VW, (5.106)
fc=-n
где
<o_k = — COh,
Фк = у1 Uk-IVk], ft =-1,2,...,n, Ф* = Ylf7fc + iV»], ft=-1,-2, . . . ,-п.
При этом случайные величины Фк также обладают свойствами центрированности и некоррелированности. В частности, благодаря условию (5.104) некоррелированы Ф* и Ф_к:
МФ^Ф-* = (Uk + ІП). і (Uk 4- iVk)] = = і (MUl - MVl) + LiMUkVk = 1 (DUk - DVk) = 0.
Корреляционная функция случайной функции (5.106) равна
км) = М\ 2 Ф'ке-^ 2 Ф^'Л =
V (t=-n J=-Tl )
= 2 2 (5.107) і 69] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 245
Так как при к Ф ]
МФ'кФ} = 0, (5.108)
а при к = і
МФ'кФк = O1k = Sh, (5.109)
причем все Sh вещественны и положительны, то получаем
Tt
K(h,h) = S = K0 (t2 - I1). (5.110)
-n
Таким образом, корреляционная функция зависит от разности аргументов.
Дисперсия случайной функции
п п
о*х = K0(O)= S Sk= 2 МФ'кФк (5.111)
Jr=-Tl *=—п
от аргумента t не зависит, а математическое ожидание случайной функции равно нулю:
п 11
MX(I) = M 2 Ф/УИк'= S ^i*'МФк = О, (5.112)
к——п к——п
так как Oft — центрированные случайные величины и, следовательно, также от аргумента не зависят. Соотношения (5.110) — (5.112) показывают, что если справедливо представление (5.103), то X (t) есть стационарная (в широком смысле) случайная функция.
Энергия гармонического колебания, как известно, пропорциональна квадрату амплитуды колебания. Следовательно, для некоторой реализации случайной величины
