Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
257
вольный момент т, а во втором примере — функцию распределения температуры в стержне в момент т.
В процессе одномерного броуновского движения (при отсутствии силового поля) и процессе диффузии тепла вероятность того, что частица сместится на величину у — х, не зависит от занимаемого ею положения х; вероятности положительных смещений равны вероятностям отрицательных смещений при одинаковых модулях смещений, и при At -*• 0 величина AX (t) —*¦ 0. Поэтому эти случайные процессы задаются функцией (5.146).
Задача 84. Функция <р (t, х; t + At, у), определяющая случайный процесс при At -»- 0, есть
1 [(ц-ж)+AacAl]'
y(t,x;t + At, y) = %(x;At,y) = tBAt •
(5.149)
Написать уравнение Колмогорова.
Решение. Так как функция ф зависит только от разности аргументов (а не от самих аргументов), то процесс стационарный. Математическое ожидание AX (t) равно — Ax At, а дисперсия равна В At. Следовательно,
a (t, х) = Iim (— AxAt) = — Ax ,
b(t,x) = lim 4-.BAt = B.
v ' At -»о
Проверка показывает, что выполняется условие (5.133).
Первое уравнение Колмогорова принимает вид
+ АхЩ^И - ^ Д v) ^ о. (5.150)
При этом учтено, что = — ^ .
Второе уравнение Колмогорова приобретает такой вид:
(5.151) 258
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
Физическим примером случайной функции, удовлетворяющей уравнению (5.131), является скорость частицы в одномерном броуновском движении. Вероятность данного изменения скорости в этом процессе зависит от величины самой скорости. Чем больше скорость, тем, вследствие вязкости среды, в которой движется броуновская частица, более вероятны приращения скорости противоположного знака. Это показывает и функция (5.146). Второй член уравнения (5.131) учитывает изменение случайной функции — скорости броуновской частицы вследствие вязкости среды. Третий член, как и аналогичный член в уравнении (5.142), учитывает диффузию, но теперь это диффузия в одномерном пространстве скоростей.
§ 72. Обобщение для случайной функции-вектора
Если случайная функция аргумента t есть вектор X (J) = [X1 (J), X2 (J), . . . , Xn (J)], составляющими которого являются случайные функции-скаляры, то процесс называется стохастически непрерывным, если выполняется условие: для любого є О
P{\X(t + Af)-X(J)|>8}-*0. (5.152)
Де -»О
Величина
<р (J, х; т, z) dz (5.153)
есть вероятность того, что случайная функция-вектор, имевшая в момент J значение х, в момент т примет значение внутри [z, Z + dz], т. е. окажется внутри п-мерного параллелепипеда Iz1, Z1 + dzj X [z2, z2 + dz2] X ... ... X [z„, zn + dz„].
Бели процесс является марковским, то справедливо уравнение
<р (<, х; т, z) = \ <р (J, х; J + ДJ, у) <р (J + AJ, у, т, z) dy , (5.154)
получаемое совершенно так же, как и для одномерной случайной функции. Интегрирование в (5.154) выполняется по всему n-мерному пространству компонентов уи у.., уп.
Уравнения Колмогорова выводятся тем же методом, что и для одномерной случайной функции. Необходимо § 72] ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ-ВЕКТОРА 259
лишь учесть, что формула Тэйлора, применявшаяся к выражению в квадратных скобках в (5.129), теперь должна применяться к функции от вектора или, что то же, к функции от п переменных xu x2,. . . , xn. Поэтому нужно ввести обозначения
Iim -ІгІіУі — Xi)<р(f, х; t -I- At, у)dy = aft, х), (5.155)
1Jm0 - JT 5 (Уі - *і)ї(Р С.х;' + у) <*У = hit, X) , (5.156)
і = 1,2,... ,п,
Hm -tf-уУі — Xi) (у, — х}) <р (t, х; t + At, у) dy =
=Cij(t,x). (5.157)
Выражения, содержащие члены третьего порядка малости в формуле Тэйлора, по-прежнему обращаются в нуль, когда At -»- 0. Если все приращения X1 (t + At) — —Xf(t), і = 1 , . . п, взаимно независимы, то все CiJ = = 0. Если все компоненты равноправны, n-мерное пространство изотропно относительно распределений случайной функции-вектора, то все аг (t, х) = a (t, х); bt (t, х) = = Ъ (t, х); і = 1,2,. . . , п. Первое уравнение Колмогорова приобретает вид
rn^lA + a(t,X) 4-
i=l 1
+ 4-6(,,,)^-^^) = 0. (5.158)
1=1 дхх
Аналогично, второе уравнение Колмогорова будет записано так:
Эф (?, х; т, z) ^ 21Им)?((іХ;м)|_ 1=1 dzi
n
- T 2 Tt[Ь <т' zW'х; т'»)! = <5159>
i=l ozi
Задача 85. Рассмотреть обобщение задач 83 и 84 на случай, когда случайная функция есть трехмерный 260
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
вектор X (0 = [X1 (J), X2 (J), X3 (J)] с взаимно независимыми компонентами.
Решение. Функция (5.146) при заданном обобщении имеет вид
__у (Uj — )*
фо (AJ1 у - X) = (2е ш 1=1 . (5.166)
Находим по формулам (5.155) и (5.156):
a, (J, х) = 0, 6, (J, X) = BuI = 1, 2, 3.
Эти результаты можно было и сразу усмотреть по значению параметров трехмерной нормальной функции (5.160).
Таким образом, первое и второе уравнения Колмогорова совпадают и имеют вид
frPoft.y) , о 94M^y) , о уФо(т,у) д. at + 1 эу* + » ^ +
+ Вае^у) = 0 (51б1)
ду\
Полученное уравнение есть уравнение днффузии в пространстве. Если Bu B2 и B3, называемые коэффициентами диффузии, различны, то диффузия в направлениях S1, х2, Xa происходит с различной скоростью. В изотропном пространстве B1 = B2 = B3 = В. Уравнение
