Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
OO
Фп (*1> xV h, Х2І • • м *і-1> ^і-ії tU xi'> *i+l,Si+1; • . м Jn, xn) =
OO
= фп-і (Ji> xii ti, Xii • • •> ^i-i» 'i+i» Xi+ii. ..; tn, xn). (5.121)
Для марковского случайного процесса на основании теоремы умножения вероятностей справедливо равенство
фп (^ii Xxi J2, X2;. ..; tn, хп) =
= ф» (*i, Xii h, ^2) ф2 (J2, Xt, J8, х3). . . <р2 (J„_i, x„_!, Jn, хп)
(5.122)
(ф2 здесь, очевидно, есть переходная плотность, в обозначении которой индекс 2 мы ранее опускали).
Действительно, согласно свойству марковского процесса, например, условная вероятность того, что случайная функция в момент J3 примет значение в промежутке Is8, х3 + dx3] при условии, что в момент J2 она приняла значение х2, а в момент J1 — значение X1, уже не зависит от значения S1, которое она приняла в момент J1. Аналогичное рассуждение для последующих моментов показывает справедливость разбиения (5.122) на произведение.
Таким образом, при помощи (5.120) и (5.122) все многомерные плотности вероятностей выражаются через двумерные плотности вероятностей и, следовательно, марковский процесс, как уже отмечалось в § 61, полностью определяется семейством двумерных плотностей вероятностей.
Напишем равенство (5.122) для п = 3:
Фз (J1, Xii J2, s2; J8, х3) =
= ф2 (<i, Xii h, х2) ф2 (J2, х2; J8, s8), (5.123)
где J1 < J2 < J8. Проинтегрируем обе части (5.123) по всем возможным значениям s2. На основании (5.121) получаем
OO
ф» (Ji, Xii t3,x3) = 5 фї (J1, S1; J2, s2) q>j (J2, X2; J„ x3) dxt. (5.124) 250
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ігл. 5
Равенство (5.124), справедливое для переходной плотности процесса без последействия, называется уравнением Колмогорова — Чепмена.
Если марковский процесс стационарный, то
ф> X1; J2, х9) = ф4 (0, X1; J2 — J1, S2), (5.125) и уравнение (5.124) может быть записано в виде
ф2 (0, X1; J8 — х9) =
OO
= 5 ф2 (О, X1; J2 — J1, х2) ф2 (О, X2; J3 — J2, х3) Axi. (5.126)
-со
§ 71. Уравнения Колмогорова для непрерывного процесса
Положим в уравнении (5.124) J1 = J, J2 = J + AJ, J8 = т, ф2 = ф:
oo
Ф (J, х; т, z) = 5 V(t,x;t + iit,y)4(t + bt,y;x,z)dy. (5.127)
-о»
Напишем также равенство Ф (J -f- AJ, ж; x,z) S=
со
= ф (J + А<, х; т, z) 5 ф (J, х; J + AJ, у) dy, (5.128)
—00
очевидное, так как интеграл в его правой части равен 1. Вычтем (5.127) из (5.128) и разность поделим на AJ:
Ф (f + At, х;х, г) — ф (t, х\ х, г) _ At
oo
= ~ Tt S W + т»г) — Ф (' + д*»т» г)] X
—00
X Ф (J, х; J + AJ, у) dy. (5.129)
Применим к выражению в квадратных скобках под знаком интеграла формулу Тэйлора и заменим интеграл і 71] УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА
251
суммы суммой интегралов:
ф (t + Af, х\ т, г) — ф (t, х; т, g) _ At ~~
¦ - + fx' т'г) -1 ^ (у - X) ер (t, X; J + AJ, у )dy -
—во
_ <ttp(I + Al, г. т. ,) _1_ jj {у _ х)2 Ф(t> , + y)dy_
—во
__1__1_ ? а»ф(< + At,? + 9 (у —х);т,г)
6 Af J дх* *
—00
X (у- х)9ф(J, я?; J + AJ, у)dy, (5.130)
где О<0 <1.
Теперь предположим, что существуют пределы
OO
Iim -Ir{ (у — x)y(t,x;t+ kt,y)dy= a(t,x), (5.131) ді -*о J
-OO
OO
lim -Jr [ (у - Xf ф (J, Xi t -ь AJ, у) dy = Ь (J, *), (5.132) «-00
а также, что
lim _L Г yfPtt + At,» + 9(.y —»);t,u1 x
At-o Ді J 3x8
—00
X (у - xf ф (J, x\ t + A<, y) dy = 0. (5.133)
Разберем сделанные предположения при помощи рассуждений, не являющихся строгими, но способствующими правильному пониманию сути этих предположений. Рассматриваемый случайный процесс является непрерывным, поэтому когда AJ -*¦ 0, плотность условной вероятности ф (J, х; J + At, у) стремится к нулю для значений I у — X j > 0. Поэтому интеграл в (5.131) при AJ -*¦ О будет стремиться к 0. Порядок малости интеграла усиливается тем, что у — X в подынтегральном выражении внутри промежутка интегрирования меняет знак. Можно ожидать, что при достаточно широких условиях отноше- 252
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ІГЛ. 5
ниє интеграла к At при At -»- О будет стремиться к конечной величине a (t, х). В частном случае a (t, х) может тождественно равняться нулю. Функция a (t, х), как показывает (5.131), имеет размерность отношения размерности случайной функции к размерности аргумента.
Под знаком интеграла в (5.132) стоит квадрат разности (У — х)' а не ее первая степень, как в (5.131), что усиливает порядок малости подынтегрального выражения. Но это существенно компенсируется тем, что подынтегральное выражение в промежутке интегрирования не меняет знака, положительно. Поэтому при широких условиях отношение интеграла к At, когда At -*¦ 0, также стремится к конечной величине Ъ (t, х). Ее размерность, как показывает (5.132), совпадает с размерностью отношения квадрата размерности случайной функции к размерности аргумента.
Подынтегральное выражение в (5.133) содержит множителем третью степень у — X. Поэтому естественно ввиду сделанных только что предположений считать, что интеграл в (5.133) при Ai -> О окажется бесконечно малой более высокого порядка, чем At, и, следовательно,выполняется (5.133).
