Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что некоторая величина X может принимать значения /0 ..
X1, Xi, . . ., хк. (4.1)
Каждый pas, как выполняется некоторый комплекс условий, величина X принимает одно ив значений (2.1). Пусть при этом вероятности того, что X примет то или иное из значений (2.1), соответственно равны
Pu Pt, . • Pk- (2.2)
Очевидно, должно выполняться равенство
п
2 Pi = I. (2.3)
1=1
Если вероятности (2.2) известны, то говорят, что распределение случайной величины X известно, и что случайная величина X задана.
Можно сказать, что, как и в случае (1.90), задается полная система событий, и события состоят в том, что случайная величина принимает то или иное из значений (2.1) с вероятностями (2.2).
Случайная величина называется дискретной, если значения, которые она может принимать, можно пронумеровать. Число этих значений может быть и неограниченным, нужно лишь, чтобы мог быть указан метод нумерации, при котором не будет пропущено ни одного возможного значения случайной величины. Иначе говоря, дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать значения, S 13]
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
55
образующие счетное множество. Распределение дискретной случайной величины называется дискретным распределением.
Примером дискретной случайной величины может быть, например, число фотонов, излучаемых атомом водорода при каскадном переходе из і-го возбужденного состояния в основное состояние. Число фотонов при этом может равняться 1,2,..., і — 1 и является случайной величиной. Дискретной случайной величиной будет также энергия первого фотона, излученного при каскадном переходе.
Другим примером дискретной случайной величины является число солнечных пятен с площадью, большей некоторого заданного значения S, наблюдаемых в течение дня на солнечном диске.
Дискретной случайной величиной является также число лепестков в цветке сирени. Как известно, вероятность того, что у случайно выбранного цветка сирени имеется четыре лепестка, близка к единице, вероятности трех или пяти лепестков малы, а вероятности встретить другие значения числа лепестков еще намного меньше.
В водородном газе при некоторой заданной температуре атомы могут находиться как в основном состоянии, так и в возбужденных состояниях. Возбужденных состояний бесчисленное множество, но они распределены дискретно и имеют точку сгущения, определяемую потенциалом ионизации. Следовательно, множество возбужденных состояний атома водорода счетно. Случайная величина— номер возбужденного состояния (основное состояние будет иметь номер 0) некоторого наудачу выбранного атома — является дискретной случайной величиной с бесконечно большим числом значений.
Интегральным законом распределения или интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция F (X), равная вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее х,
Очевидно, что
F (х) = P (X < х). F(X)= 2 А»
(2.4)
(2.5)
где суммирование ведется ПО всем І, для которых Xi < X. (56
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
Функция F (X) является монотонно возрастающей функцией, так как при возрастании х к правой части (2.5) могут только добавиться положительные члены — вероятности событий. При изменении Ж ОТ — OO до ос функция F (X) растет от О до 1 и имеет ступенчатый вид, как это для примера показано на рис. 6,а. Бели возможные значения X ограничены сниэу величиной Mu то F (M1) = 0. Если возможные значения X ограничены сверху величиной M2, то F (M2 + Д) = 0, где Д— любая положительная величина.
Если а <. Ь, то на основании теоремы сложения вероятностей справедливо равенство
Р(Х<а) + Р(а^Х<Ь) = =P (X < Ь),
откуда на основании (2.4) следует, что
P (а < X < Ь) =
= F(b)-F(a), (2.6)
т. е. вероятность для случайной величины принять значение, лежащее между а и Ь, равна разности интегральных функций распределения для аргументов & и а.
3 а д а ч a 29. Электролампа многократно включается и выключается. Вероятность перегорания лампы при одном включении и выключении равна р. Рассмотреть случайную величину — порядковый номер включения и выключения, при которых лампа перегорит,— и найти ее распределение.
Решение. Эта дискретная случайная переменная имеет бесконечно большое число возможных значений. Вероятность того, что лампа перегорит при к-м включении и выключении, равна произведению вероятности того, что она не перегорит при к — 1 первых включениях и выключениях, на вероятность того, что в следующем,
в)
б)
Рис. 6. S IS]
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
57
й-м включении, она перегорит: (1 -р)*-*р.
Следовательно, возможные значения случайной переменной
12 Jfe
Cdy • • r*>f • • •
имеют соответственно вероятности
р. (1 — р)р,.... (1 — Pf-1P,...
Вероятность того, что лампа не перегорит после к включений и выключений, равна (1 — р)к, поэтому интегральный закон распределения
F (к) = 1-(1 -р)*,
что можно получить и суммированием вероятностей значений случайной переменной до Jfe — 1.
Задача 30. Известно, что отношение числа кратных систем звезд с кратностью Jfe к числу кратных систем звезд с кратностью к — 1 приблизительно постоянно (не зависит от к) и равно Ь. В предположении, что этот закон выполняется строго, рассмотреть в качестве случайной переменной кратность системы, которой принадлежит случайно выбранная 8ве8да, и найти ее распределение.
