Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим различные последовательности из п извлекаемых шаров. Число таких равновозможных последовательностей равно
/тгП
Cs.
Число благоприятных событий (когда получено т белых шаров) равно числу сочетаний из N белых шаров по т, умноженному на число сочетаний из S-N не белых шаров по п — т. Таким образом,
/-Iffl ГіТі—ТЧ
ftW-^-
_ N\(S — N)\ nl (S — n) 1 _1_
то! (/V — то)I (n — то)! (S — /V — n + то)! '
(2.13)
Распределение (2.13) называют гипергеометрическим.
Как и в биномиальном распределении, найдем значение т, при котором вероятность достигает максимального значения. Должны выполняться неравенства
_ m(S — N — n + т) . />„(«) ~~ (N-m+i)(n-m + i) ^1'
Pn(m> (то+!)(,?-#-»+то+1)
/>„(«+!) ~ (iV — то)(п — то)
Решая эти неравенства относительно т, получим
^+1н»+1)_1<то<(лг+т»+1)< (2Л4)
Гели San велики, то приближенно максимум вероятности достигается при
т = -^-п. (2.15) (62
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
§ 16. Распределение Пуассона Рассмотрим даваемое формулой (1.101)
P + q = 1,
биномиальное распределение, определяющее вероятность появления события А т раз при га испытаниях.
Предположим, что число испытаний га очень велико, и пусть
пр = а. (2.16)
Зафиксируем а и устремим га к бесконечности. Поскольку р равно а /га, оно будет стремиться к нулю. Заменим в (1.101) р на a In, a q — на 1 — а/га:
Рп(т)=
__ it it — 1 га — т + 1 а"1 Г/. a \-т/а 1-а ' а \-т it it '*¦ « т! |_\ Jn
Совершим предельный переход, учитывая, что при га оо каждое значение m остается конечным. Тогда
РИ = -^. (2.17)
Полученное распределение называется распределением Пуассона для случайной величины — числа наступлений события А. Это распределение является точным, если га бесконечно велико (а р соответственно бесконечно мало). Однако оно может быть с успехом использовано и для конечных, но больших п, так как для больших га точность его весьма велика, а вычислять вероятности по формуле Пуассона проще, чем по формуле биномиального распределения, в особенности в тех случаях, когда а невелико, не превосходит нескольких единиц.
Именно в тех случаях, когда а мало, н, кроме того, требуется учитывать вероятности только небольшого числа первых значений т (для больших значений т вероятности очень малы), распределение Пуассона наиболее употребительно. S 17] НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
63
Легко видеть, ЧТО условие 2 />(/») = 1 выполняется.
т=0
В самом деле, используя разложение еа в бесконечный ряд, получаем
OO OO
2 PH = е-* 2 -S- = = 1- (2-18)
т=о т=0
Определим, при каком значении т вероятность р (т) принимает наибольшее значение. Аналогично тому, как это было сделано в § 14 для биномиального распределения, используя (1.101), находим
p(w-l) _ т р (і») _ т +1 .
р(т) — a ^ai' P(w+1)— а =^*'
откуда следует, что вероятность максимальна при
а — 1 < т < а. (2.19)
Таким обрезом, в общем случае, когда а не есть целое число, максимум вероятности достигается при т, равном ближайшему меньшему а целому числу. Если а <1, то р (т) наибольшее при т = 0. В частном сучае, если а — целое число, то наибольшая вероятность достигается при двух значениях: т = а — I н т = а.
§ 17. Непрерывная случайная величина
Допустим, что возможными значениями случайной величины X являются любые значения из некоторого промежутка [а, 6]. Назовем интегральным законом распределения этой случайной величины, как и для дискретной случайной величины, функцию
F(x) = P (Х< X). (2.20)
Предположим, что существует такая функция / (х), что для любых значений х выполняется равенство
X
F(x)= J /©dg, —00
(2.21) (64
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
из которого также следует, что
/(*) = Fr(X) (2.22)
всюду, за исключением, быть может, множества точек х лебеговой меры 0.
Будем называть случайную величину, отвечающую этому требованию, непрерывной.
Функция / (х) называется дифференциальным законом распределения случайной величины. Для того чтобы понять ее смысл, напишем на основании (2.20) и (2.21):
ь
Р(а<Х<Ь) = §/(*)<&. (2.23)
а
Предположим, что функция / (х), непрерывна. Положив в (2.23) a = X, & b = X + dx, получим
x+dx
Р(ж<Х <* + <&)= 5 f(l)<% = f(x)dx + o(dx). (2.24)
X
1 1 Аналогично, положив а = х--dx, b = х + dx, получим
P (х- -J-dx < X < X + dx) = / (х) dx + о (dx). (2.24*)
Таким образом, произведение / (х) на de с точностью до бесконечно малых высших порядков равно вероятности того, что случайная переменная примет значение, заключенное между X и X + dx (или, что то же самое, между 1 1
X--^-dxax + -^-dx). Вследствие этого для функции / (х)
наряду с термином дифференциальный закон распределения употребляют также термин плотность вероятности. Целесообразность этого термина следует из такой аналогии. Если рассматривается линейный стержень с переменной линейной плотностью (массы) / (х), то, как известно, выражение в правой части (2.23) дает массу стержня, заключенную в промежутке [а, 6], а выражение в правой части (2.24) — массу стержня в промежутке [ж, х + dx\. Поэтому, поскольку в нашей задаче левые части равенств (2.23) и (2.24) определяют вероятности, то функцию / (х) уместно назвать плотностью вероятности. S 17] НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
