Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
65
Вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка [х, х + dx], есть всегда неотрицательная величина, следовательно, и плотность вероятности — неотрицательная функция, / (х) > 0. Поскольку
Iim F (ж) = 1,
ас-»»
TO
OO
5 j(x)dx = 1. (2.25)
—00
Бели случайная величина может принимать значения только из промежутка [а, 6], то условие нормировки можно записать в виде
ь
\f(x)dx = 1. (2.26)
а
Однако его всегда можно писать и в виде (2.25), имея в виду, что вне промежутка [а, Ь] плотность вероятности f (X) = 0.
Произведение / (х) dx есть вероятность, т. е. величина безразмерная. Дифференциал dx имеет размерность случайной величины. Следовательно, плотность вероятности имеет размерность случайной величины в степени минус 1.
Типичный график функции F (х) для непрерывного распределения показан на рис. 6, б.
Непрерывная случайная величина считается заданной, если известна ее функция распределения F (х) или / (х).
Задача 33. Найти функ- Рис- 7-
цию распределения угла между двумя полупрямыми на плоскости, из которых одна закреплена, а у другой все ориентации в данной плоскости равновероятны.
Решен и е. Понятие равновероятности всех направлений в плоскости определяется следующим образом. Пусть полупрямая каждый раз выходит из некоторой точки. Проведем из этой точки на плоскости окружность произвольного радиуса (рис. 7). Все направлении иолу- 66
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ігл. г
прямой равновероятны, если вероятность, что полупрямая пройдет через любой отрезок дуги проведенной окружности, пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения.
Пусть радиус окружности равен 1. Вероятность того, что рассматриваемый угол будет заключен в промежутке [а, а + da], пропорциональна соответствующему дифференциалу дуги, который равен da. Следовательно,
/ (a) da = cda.
Постоянная с находится из условия нормировки. Если угол отсчитывается в определенном направлении, то он может принимать значения в промежутке 10, 2я]. Следовательно,
^ cda = 2лс == 1
о
и
f(a)da = -^da.
Задача 34. Найти функцию распределения угла между закрепленной полупрямой и полупрямой, все направления которой в пространстве равновероятны.
Решение. Понятие равновероятности всех направлений полупрямой в пространстве определяется следующим образом. Пусть полупрямая каждый раз выходит из некоторой точки. Проведем из этой точки произвольным радиусом сферу. Мы будем говорить, что все направления полупрямой равновероятны, если вероятность того, что полупрямая пройдет через любую область сферы, пропорциональна площади поверхности этой области и не зависит от ее формы. (Если это условие выполняется, то при многократном испытании точки пересечения полупрямой со сферой будут стремиться равномерно заполнить сферу.)
Полупрямую с фиксированным направлением также проведем из центра сферы; пусть это будет вертикальная полуось (рис. 8). Пусть радиус сферы равен 1. Рассматриваемая случайная величина — угол между двумя полупрямыми — может принимать значения из промежутка [О, я1. Вероятность того, что она примет значение из промежутка fa -I-dal, равна вероятности попадания под- S 17] НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 7
в и ні но іі иол упрямой в заштрихованное на рис. 8 кольцо. Поэта вероятность пропорциональная площади кольца,
/ (a) da = с-2л sin ada.
Коэффициент с, определяемый из условия нормировки (2.26), получается равным 1/4я, поэтому окончательно
/ (a) da = -J- sin ada, (2.27)
I
a плотность вероятности / (а) = -у sin а.
Замечание. Если бы рассматривалась случайная величина — угол между двумя прямыми (не направленными),— то промежуток возможных значений был бы jo, ^ j и с
учетом нормировки мы получили бы
/ (a) da = sin а da.
Задача 35. Найти функцию распределения угла между фиксированной плоскостью и прямой, все направления которой в пространстве равновероятны.
Решение. Рассматриваемая случайная величина ? может принимать значения в промежутке ^O, -^J. Проведем на рис. 8 фиксированную плоскость перпендикулярно к фиксированной прямой. Тогда
/ (?) d? = с-2я cos ? d?,
и с учетом нормировки получим
f(?) d? = cos ?d?. (2.28)
Легко видеть, что функция распределения угла между фиксированной прямой и плоскостью, все положения которой равновероятны, также равна cos?.
Задача 36. В условиях задачи 21 найти функцию распределения времени распада радиоактивного атома.
Решение. Вероятность того, что распад произойдет в интервале времени [t + ЛІ, равна вероятности того, 08
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ігл. г
что атом не распадается за время t, умноженной на вероятность того, что он распадается за следующий промежуток времени dt. Следовательно,
/ (<) dt = e-^Xdt.
Задача 37. Пространство заполняет газ. Вероятность встретить молекулу газа внутри бесконечно малого объема dv равна a dv. Для любой молекулы в любой момент времени найдется какая-то молекула — ближайший сосед. Расстояние до ближайшего соседа есть случайная величина. В разные моменты времени она различна. Найти функцию распределения расстояния до ближайшего соседа.
