Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение (метод В. А. Амбарцумяна). Рассмотрим некоторое произвольное направление из точки наблюдения О (рис. 9). Вероятность пронаблюдать в этом направлении поверхностную яркость, не превышающую X, равна F (х). Рассмотрим точку О', отстоящую от точки О на
О'
-J_
д»
Рис. 9.
As в направлении наблюдения. Так как физические условия в точке О' совершенно такие же, как и в точке О, то вероятность пронаблюдать из точки О' в том же направлении поверхностную яркость, не превосходящую х, также равна F (х). Наблюдения из точек О л О' не независимы. Для того чтобы поверхностная яркость при наблюдении из точки О не превосходила х, необходимо, чтобы произошло одно их двух следующих не совместных событий.
1) Наблюдаемая поверхностная яркость из точки О' не превосходит X — TiAs, а между точками О и О' нет темной туманности. Тогда яркость к точке О возрастет на JjAs н не будет превосходить х. Согласно теореме і 25] ФЛУКТУАЦИИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 95
умножения вероятность этого события равна F (х — rjAs) (1 — xAs).
2) Наблюдаемая из точки О' поверхностная яркость не превосходит x/q, а между точками О и О' имеется темная туманность. Тогда на пути As поверхностная яркость ослабеет в q раз и при наблюдении из точки О не будет превосходить X. Вероятность события 2) равна
f[±-)xAS.
События 1) и 2) несовместны, вероятность, что произойдет одно из них, равна сумме их вероятностей, и это равно вероятности того, что поверхностная яркость, наблюдаемая из точки О, не превзойдет х. Следовательно, можно написать уравнение
F (х- riAs) (1 - xAs) + F xAs = F (z).
Считая As сколько угодно малым, разлагая F (х — rjAs) в ряд Тэйлора и пренебрегая членами второго и более высокого порядка малости относительно As (мы это уже делали, пренебрегая увеличением излучения за счет светлой материи в вероятности события 2)), находим после элементарных упрощений уравнение для искомой функции F (х)
t)F' (х) + xF (ж) - xF = 0.
Решать это функционально-дифференциальное уравнение сложно. Бели продифференцировать его по х, то получим уравнение для плотности вероятностей / (ж),
+ — 0,
которое решать также сложно. Покажем, что легко найти, используя это уравнение, соотношение между моментами функции распределения F (х). Помножим для этого каждый член уравнения на я" dx и проинтегрируем по всем возможным поверхностным яркостям, т. е. ot 0 до -(-оо. (96
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
Так как
OO
$ xnf (х) dx = vn, *0
Oo 00
\ Xn/' {х) dx = х'7 (ж) Ґ — га 5 xH~lf dx = — О I0 о
I *nf (f) ^ = ^141S 4/ (f) <* f = 3n+lvn,
то получаем рекуррентное соотношение между начальными моментами
v .
vn —
v, =
откуда получаем
X 1 n • — ч
= 1 иге =
1
X 1 -</'
2TJ Vl
X 1 — Ч" '
- п 1
х I+?
vi,
что дает зависимость между дисперсиеи и математическим ожиданием случайной величины с функцией распределения F (ж).
§ 26. Нормальный закон распределения
В теории вероятностей и ее приложениях важную роль играет дифференциальный закон распределения случайной величины X1 имеющий вид
<р(ж) = ЖгИ*-«'. (2.79)
Этот закон распределения называется нормальным, а соответствующая плотность — нормальной функцией. Из условия нормировки
oo oo
1 = ^ ф (х) dx = J- jj e~l'dt (2.80) НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
97
находим
А = ТТ> (2-81)
так как интеграл в правой части (2.80) есть интеграл Пуассона, равный У~й.
Математическое ожидание случайной величины X с плотностью ф (х) оказывается равным
oo
Z=J X Y^erWt-Wdx = Ъ, (2.82) — 00
а дисперсия
OO
в» - jj (Х-Ъ)> e-^-V'dx = JL . (2.83)
— OO
Равенства (2.81) — (2.83) позволяют записать нормальный закон распределения в каноническом виде
, (х-Х)'
Ф(Х)-775ГГ ** ' (2-84)
Нормальную функцию называют также гауссианой.
График нормальной функции приведен на рис. 10. Соответствующий интегральный закон распределения имеет следующий вид: _
ф{х)=туш S* 20! dt {2,85)
—ли
4 Т. А. Агенян (98
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
Как показывает (2.84), нормальная функция симметрична относительно прямой X = Xt имеет максимум в точке X = X и монотонно убывает при возрастании | х — X |, асимптотически приближаясь к нулю.
Случайную величину, плотность вероятности которой есть нормальная функция, называют нормально распределенной случайной величиной.
Если плотность вероятности X имеет вид (2.84), а случайная величина Z есть
Z = аХ,
то, применяя правило нахождения плотности вероятности функции, получим
J1 (z) dz = ср (х) dx =
1 (ж-Х)» (г-аХ)'
=-7=-Є 2<" dX = -^=-(? 2а»» dz.
з У 2я аз /2я
Таким образом, плотность вероятности Z также есть нормальная функция со стандартом, равным аа, и средним значением 1Z = аЖ.
Если плотность вероятности X имеет вид (2.84), то плотность вероятности случайной величины
t = (2.86)
Таблица 1
Ш)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
1.3
1.4
0,39894 0,39695 0,39104 0,38139 0,36827 0,35207 0,33322 0,31225 0,28969 0,26609 0,24197 0,21785 0,19419 0,17137 0,14973
