Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 27

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 71 >> Следующая


Решение (метод В. А. Амбарцумяна). Рассмотрим некоторое произвольное направление из точки наблюдения О (рис. 9). Вероятность пронаблюдать в этом направлении поверхностную яркость, не превышающую X, равна F (х). Рассмотрим точку О', отстоящую от точки О на

О'

-J_

д»

Рис. 9.

As в направлении наблюдения. Так как физические условия в точке О' совершенно такие же, как и в точке О, то вероятность пронаблюдать из точки О' в том же направлении поверхностную яркость, не превосходящую х, также равна F (х). Наблюдения из точек О л О' не независимы. Для того чтобы поверхностная яркость при наблюдении из точки О не превосходила х, необходимо, чтобы произошло одно их двух следующих не совместных событий.

1) Наблюдаемая поверхностная яркость из точки О' не превосходит X — TiAs, а между точками О и О' нет темной туманности. Тогда яркость к точке О возрастет на JjAs н не будет превосходить х. Согласно теореме і 25] ФЛУКТУАЦИИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 95

умножения вероятность этого события равна F (х — rjAs) (1 — xAs).

2) Наблюдаемая из точки О' поверхностная яркость не превосходит x/q, а между точками О и О' имеется темная туманность. Тогда на пути As поверхностная яркость ослабеет в q раз и при наблюдении из точки О не будет превосходить X. Вероятность события 2) равна

f[±-)xAS.

События 1) и 2) несовместны, вероятность, что произойдет одно из них, равна сумме их вероятностей, и это равно вероятности того, что поверхностная яркость, наблюдаемая из точки О, не превзойдет х. Следовательно, можно написать уравнение

F (х- riAs) (1 - xAs) + F xAs = F (z).

Считая As сколько угодно малым, разлагая F (х — rjAs) в ряд Тэйлора и пренебрегая членами второго и более высокого порядка малости относительно As (мы это уже делали, пренебрегая увеличением излучения за счет светлой материи в вероятности события 2)), находим после элементарных упрощений уравнение для искомой функции F (х)

t)F' (х) + xF (ж) - xF = 0.

Решать это функционально-дифференциальное уравнение сложно. Бели продифференцировать его по х, то получим уравнение для плотности вероятностей / (ж),

+ — 0,

которое решать также сложно. Покажем, что легко найти, используя это уравнение, соотношение между моментами функции распределения F (х). Помножим для этого каждый член уравнения на я" dx и проинтегрируем по всем возможным поверхностным яркостям, т. е. ot 0 до -(-оо. (96

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

Так как

OO

$ xnf (х) dx = vn, *0

Oo 00

\ Xn/' {х) dx = х'7 (ж) Ґ — га 5 xH~lf dx = — О I0 о

I *nf (f) ^ = ^141S 4/ (f) <* f = 3n+lvn,

то получаем рекуррентное соотношение между начальными моментами

v .

vn —

v, =

откуда получаем

X 1 n • — ч
= 1 иге =
1
X 1 -</'
2TJ Vl
X 1 — Ч" '
- п 1

х I+?

vi,

что дает зависимость между дисперсиеи и математическим ожиданием случайной величины с функцией распределения F (ж).

§ 26. Нормальный закон распределения

В теории вероятностей и ее приложениях важную роль играет дифференциальный закон распределения случайной величины X1 имеющий вид

<р(ж) = ЖгИ*-«'. (2.79)

Этот закон распределения называется нормальным, а соответствующая плотность — нормальной функцией. Из условия нормировки

oo oo

1 = ^ ф (х) dx = J- jj e~l'dt (2.80) НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

97

находим

А = ТТ> (2-81)

так как интеграл в правой части (2.80) есть интеграл Пуассона, равный У~й.

Математическое ожидание случайной величины X с плотностью ф (х) оказывается равным

oo

Z=J X Y^erWt-Wdx = Ъ, (2.82) — 00

а дисперсия

OO

в» - jj (Х-Ъ)> e-^-V'dx = JL . (2.83)

— OO

Равенства (2.81) — (2.83) позволяют записать нормальный закон распределения в каноническом виде

, (х-Х)'

Ф(Х)-775ГГ ** ' (2-84)

Нормальную функцию называют также гауссианой.

График нормальной функции приведен на рис. 10. Соответствующий интегральный закон распределения имеет следующий вид: _

ф{х)=туш S* 20! dt {2,85)

—ли

4 Т. А. Агенян (98

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

Как показывает (2.84), нормальная функция симметрична относительно прямой X = Xt имеет максимум в точке X = X и монотонно убывает при возрастании | х — X |, асимптотически приближаясь к нулю.

Случайную величину, плотность вероятности которой есть нормальная функция, называют нормально распределенной случайной величиной.

Если плотность вероятности X имеет вид (2.84), а случайная величина Z есть

Z = аХ,

то, применяя правило нахождения плотности вероятности функции, получим

J1 (z) dz = ср (х) dx =

1 (ж-Х)» (г-аХ)'

=-7=-Є 2<" dX = -^=-(? 2а»» dz.

з У 2я аз /2я

Таким образом, плотность вероятности Z также есть нормальная функция со стандартом, равным аа, и средним значением 1Z = аЖ.

Если плотность вероятности X имеет вид (2.84), то плотность вероятности случайной величины

t = (2.86)

Таблица 1



Ш)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

1.3

1.4

0,39894 0,39695 0,39104 0,38139 0,36827 0,35207 0,33322 0,31225 0,28969 0,26609 0,24197 0,21785 0,19419 0,17137 0,14973
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 71 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed