Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> "Теория вероятностей для астрономов и физиков" -> 23

Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteydlyaastronomov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 71 >> Следующая


Из (2.42) следует, что для дискретной случайной величины

DX = = ^ixi-XY-Pi.

і

(2.50) (80

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

Выведем важную для практики формулу:

OO

DX = 5 (х-Iff (х) dx =

—OO

OO OO ОС

= 5 хгі(х)dx — 21 ^ xf (х)dx +X2 J f(x)dx,

—ЗО —OO —OO

откуда следует:

DX = (X - Xf = T2-I2 = MX2 - (MX)2, (2.57)

т. е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата и квадратом математического ожидания случайной величины. Корень квадратный из дисперсии

б = VDX = Vlk (2.58)

называется стандартом случайной величины. Стандарт есть среднее квадратичное отклонение случайной величины от ее среднего значения. Он имеет размерность случайной величины.

Отношение стандарта к абсолютному значению среднего арифметического

т (2.59)

называется относительным среднеквадратичным отклонением случайной величины от среднего значения или вариацией случайной величины. Эта характеристика имеет важное значение в том случае, когда случайная величина может принимать значения только одного знака. Если

случайная величина может менять знак, то ті-не предку' L

ставляет интереса, а в том случае, когда л = 0, не существует. Очевидно, JYp — безразмерная величина.

Все моменты функции распределения можно рассматривать как некоторые характеристики случайной величины. Если случайная величина может принимать значения из ограниченного промежутка, то все ее моменты существуют. Если же промежуток значений случайной величины не ограничен, то могут существовать не все моменты. § 21] МОМЕНТЫ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

81

Например, если

'Zbi

/(Z)=-^r при я>ь>о,

(2.60)

/ (х) = 0 при х<^Ь,

то

QU OO

v0= j f(x)dx = 5 dx= 1,

—oo ь

OO OO

v1= \ xf(x)dx = \^-dx = 2b.

—оо Ь

Все же моменты второго и более высокого порядков не существуют, так как соответствующие интегралы расходятся. Дисперсия случайной величины с плотностью вероятности (2.60) бесконечна.

Математические ожидания абсолютных значений (X — а)к называются абсолютными моментами ft-ro порядка. Например,

OO

5 \х — Х\f(x)dx,

—OO

00

1 \x-I\3f(x)dx

—OO

есть соответственно абсолютные центральные моменты первого и третьего порядка.

З а д а ч а 44. Все направления отрезка прямой а равновероятны. Найти среднее значение, а также дисперсию длины проекции X этого отрезка на: 1) заданную прямую, 2) заданную плоскость.

Решение. Согласно решениям задачи 33 и 34 функция распределения угла а между данным отрезком прямой и фиксированной прямой есть

/(a) =-j-sin а,

а функция распределения угла между отрезком и плоскостью

/(?) = cos ?. (82

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

Проекция отрезка на прямую равна a cos а, а яа плоскость — а cos ?. Поэтому средняя длина проекции отрезка на прямую

я

MX = ^a|cosa|- -y-sinada = о

*/«

1С 1

= 2— J COsasinada=-J-O,

о

а средняя длина проекции на плоскость

ад

MX=* а I cos2 ?d? = -J-fl. о

Дисперсия длины проекций на прямую

п

DX = б? = (l cosaI — -г)* " "Tsinada =

ад

= a8 ^ fcosa —sinada = jUa8, о * ^

а на плоскость

DX = < = о8 f (cos? - -f)2 cos ?d? = (4" - if)

Стандарт длины проекции отрезка на прямую б! = -~=а^0,2888а,

а стандарт длины проекций отрезка на плоскость з8 = --Jg-ess 0,2361 а.

Задача 45. Вероятность того, что частица на участке пути [/, I -J- dl) столкнется с другой частицей, равна X dl. Найти функцию распределения длины свободного (без столкновений) пробега I, а также ее среднюю величину, дисперсию и стандарт.

Решение. Вероятность того, что частица испытывает на участке [/, I + dl] первое столкновение, равна про- § 21] МОМЕНТЫ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

83

изведению вероятности того, что частица не испытает столкновения на участке путп [0, 2], на вероятность того, что ояа испытает столкновение на участке пути [I, I -г + dl]. Первая величина, по аналогии с (1.79) в задаче 21, равна e~>J. Второй множитель равен Xdl. Поэтому

/ (I) dl = e~MXdl. Средняя длина свободного пробега частицы

OO

Mt = I = \ Ie-aXdl = 4- •

J к

о

Дисперсия длины свободного пробега

* - ^ = Sf' —г)8'г->Ш - IF'

о ' '

и стандарт

Таким образом, фигурирующий в условии задачи параметр X имеет тот смысл, что его обратной величине равны средняя величина свободного пробега и стандарт свободного пробега.

Задача 46. В условиях задачи 38 найти математическое ожидание, дисперсию и стандарт расстояния г до молекулы—ближайшего соседа.

Решение. Используя найденную в решении задачи плотность вероятности расстояния для ближайшего соседа, находим математическое ожидание

оо оо 4

_ П А — — IS 0.1*

t = \ rf(r)dr = } 4яаг*е 3 dr =

9-0.554.a-v,

Здесь

OO

Г (а) = 5 f^er'dt о (84

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ІГЛ. 2

есть известная гамма-функция или эйлеров интеграл второго рода. (Существуют таблицы этой функции, например, Б. И. С е г а л, К. А. С е м е н д я е в, Пятизначные математические таблицы, Физматгиз, M., 1962.)

Дисперсия расстояния до ближайшего соседа
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 71 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed