Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы ярчайшая звезда имела видимую величину, заключенную в промежутке Im, тп + dm], необходимо, во-первых, чтобы в площадке не было звезды с видимой величиной, меньшей т и, во-вторых, чтобы была звезда с видимой величиной, заключенной в промежутке [т, т + dm]. Эти два события взаимно независимы, поэтому искомая вероятность равна произведению (2.76)
Мы нашли плотность распределения случайной величины m — видимой величины ярчайшей звезды в площадке площадью 1 кв. градус, расположенный на определенной галактической широте.
Для определения математического ожидания видимой величины ярчайшей звезды необходимо (2.77) помножить на т и проинтегрировать по всему промежутку значений видимых величин. Можно принять, что видимые величины всех звезд расположены в промежутке (0, оо] и, следовательно, N (0) = 0. На самом деле три звезды (Сириус, Ka-нопус и а Центавра) имеют отрицательную видимую величину, но этим можно пренебречь, так как вероятность попадания одной из этих трех звезд в рассматриваемую площадку очень мала.
Таким образом, средняя величина ярчайшей звезды
g-N(m)m
(2.76)
на (2.75):
/ (т) dm = e~w<m> N' (m) dm.
(2.77)
OO
Mm = J m<rw<mW (m) dm =
о
oo
oo
— me~'
¦N(m) J" + ^ e-mm)dm = J e-Wm)dm,
O
O
так как N (оо) = оо. і 23]
МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА
89
Математическое ожидание квадрата видимой величины ярчайшей звезды
OO оо
Mttt2 = 5 BtV-vCnW(тп)dm = 2§ me-W'^dm. о о
и, следовательно, дисперсия m
oo
о2 = 2 5 me-nwdm — e~^)dm\ .
Задача 49. В области полностью ионизованного водорода начинает происходить рекомбинация электронов с ионами, в результате чего газ постепенно деионизуется. Вероятность того, что электрон рекомбинируется за время dt, в начальный момент равна х dt. Найти плотность вероятности для случайной величины — времени, прошедшего до момента рекомбинации электрона.
Решение. Вероятность того, что электрон рекомбинируется за промежуток времени dt, если к моменту t он оставался свободным, пропорциональна dt, концентрации ионов р и постоянному коэффициенту ?, характеризующему акт рекомбинации. Согласно условию задачи
X = po?.
где Po — концентрация ионов в начальный момент.
Концентрация ионов убывает вследствие рекомбинаций. Этот процесс описывается уравнением
= - ?P<*<.
решение которого
— Р" P — 1 + хг •
Следовательно, вероятность того, что электрон рекомбинируется за время dt, если в момент t он был свободным, равна
г-гЧя.
1 + Xf
Проинтегрировав это выражение от О до t, получим
a ^ In (1 f х/). 90
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ігл. г
что есть математическое ожидание числа рекомбинаций за время t. Хотя каждый электрон может рекомбиниро-ваться только один раз, это не значит, что а должно быть меньше единицы, а имеет смысл математического ожидания числа возможностей рекомбинироваться за время t.
В таком случае, согласно распределению Пуассона, вероятность того, что за время t электрон не рекомбини-руется,
Искомая вероятность / (t) dt того, что рекомбинация электрона произойдет в промежутке времени [I, t + dt], равна произведению вероятности того, что рекомбинация не произойдет за время t, на вероятность того, что после этого она произойдет за время dt. Таким образом,
/<0*-г?зппз* = CnV'-
§ 24. Вероятностная трактовка некоторых физических понятий
Введение понятия вероятности события позволяет правильнее определять некоторые физические явления. Например, понятие постоянства плотности газа в пространстве неверно формулировать буквально, считая, что молекулы расположены как солдаты в строю и все расстояния между соседними молекулами равны между собой. Так как молекулы газа непрерывно движутся, эти условия не могут выполняться строго, хотя плотность газа в макроскопическом смысле слова будет оставаться постоянной.
Условимся говорить, что плотность газа постоянна в пространстве, если вероятность встретить хотя бы одну молекулу газа в некоторой области пространства зависит только от объема этой области и не зависит от формы области и ее месторасположения. При таком определении тождественность фактически реализуемых положений в различных местах пространства заменяется тождестрен-ностью условий, характеризуемых вероятностями.
Очевидно, чем меньше объем рассматриваемой области, тем меньше вероятность встретить в ней хотя бы одну МО- 5 2'|] ВЕРОЯТНОСТНАЯ ТРАКТОВКА НЕКОТОРЫХ ПОНЯТІїП 91
лекулу и когда объем облает стремится к нули», і о вероятность встретить в ней хотя бы одну молекулу также стремиться к нулю.
В пространстве, где плотность газа всюду одинакова, рассмотрим некоторую малую область объема 2v, состоящую из двух частей, каждую объемом v. Вероятность встретить хотя бы одну молекулу в каждом из объемов г обозначим р. Тогда согласно теореме сложения вероятность встретить хотя бы одну молекулу в объеме Iv равна р -sT р — рг- Если рассматриваемые объемы бесконечно малы, то бесконечно мала и вероятность р, поэтому квадратом ее можно пренебречь и, следовательно, вероятность встретить хотя бы одну молекулу в объеме 2v равна 2р. Таким образом, для бесконечно малых объемов увеличение объемов вдвое ведет к увеличению вдвое вероятности встретить в объеме хотя бы одну молекулу. Поскольку рассмотренные объемы являются произвольными (при условии их бесконечной малости), то доказанное утверждение равносильно утверждению, что для бесконечно малых объемов вероятность встретить хотя бы одну молекулу пропорциональна величине объема. Следовательно, условие постоянства плотности равносильно условию, что вероятность встретить хотя бы одну молекулу в объеме dv равна X dv, где постоянный коэффициент пропорциональности X характеризует величину плотности.
