Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
[>авна вероятности попадання xm в промежуток Xm, *т + Аж):
Pixm^xm <хт + Ах) = ф (хт) Ах. (2.131)
Когда п -+• оо, Ax -*¦ 0, и равенство (2.131) показывает, что нормальная функция ф (х) является плотностью вероятности случайной переменной Xm.
Итак, если га -»- оо и пх3 0, то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (2.131), в которой
Ф (ж) — нормальная функция с Xm = 0 и о2 = .
Доказанная теорема позволяет решить задачу, упомянутую в начале этого параграфа. Если требуется определить вероятность того, что прн га испытаниях число появлений m события А будет заключено между а и Ъ, то находим
а, &
Р(а<т<Ь) = Р(а1<жи<а2) = ^-1=-в dx,
«і
(2.132) (112
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
где
Cl1 =
л
а
В частности, если а2 = -Cti = а, то P (рп — an <[ m < рп -f- an) =
= P(-a<xm< + a) = Hp(^j , (2.133)
где г|> (•) — интеграл вероятностей.
В заключение раскроем смысл условия (2.126). Оно гарантирует, что полученное представление (2.127) является достаточно точным, если рассматриваются значения
где а достаточно мало в сравнении с единицей. Разделив (2.134) на (2.128), получим
не выполняется только для тех значений хт, для которых плотность вероятности очень мала.
Задача 56. Наблюдая Солнце в период 1880— 1896 гг., И. Сикора обнаружил на восточном краю Солнца 7024 протуберанцев, а на западном краю 6614 протуберанцев. Какова вероятность того, что преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца есть дело случая?
Решение. Предположим, что вероятности появления протуберанцев на восточном и западном краях Солнца равны. Следовательно, вероятность того, что появившийся протуберанец окажется на восточном краю Солнца, р = 1/2. Общее число наблюденных протуберанцев следует рассматривать как число испытаний, а число т = = 7024 — как число появлений события А. Случайная
(2.134)
Если, например р = - , = 0,01, то при п = 10е
получаем: —<4,97. Это показывает, что условие (2.134)
(2.135) ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА
величины X — отклонение относительной частоты от наи вероятнейшего значения,— оказалась равной
Стандарт случайной величины, определяемой по формуле (2.128), равен
Следовательно, вероятность того, что преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца над ожидавшимся числом такое, как наблюдалось, или меньше, согласно (2.133) и таблице 2, равна
А вероятность того, что отклонение будет таким, какое наблюдалось, или большим, равна 1—0,999543 = 0,000457.
Именно эта величина, вероятность того, что отклонение, вызванное случайностью, будет равно наблюдаемому или больше его, показывает, имеются ли основания объяснять наблюдаемое явление как случайное отклонение. В данной задаче малая величина вероятности 0,000457 показывает, что не случайность, а другое обстоятельство вызвало преобладание числа протуберанцев на восточном краю Солнца. Как впоследствии выяснилось, причиной была личная ошибка Сикоры, который более уверенно обнаруживал протуберанцы на восточном краю диска Солнца, чем на западном.
Задача 57. Частица совершает случайные блуждания в одном измерении. С вероятностью р она совершает шаг в положительном направлении и с вероятностью q = 1 — р — шаг в отрицательном направлении. Найти вероятность того, что после п шагов (п^>1) частица будет обнаружена в промежутке [у, у -J- dy\. Длина каждого шага равна I.
Решение. Вероятность того, что частица сделает т шагов в положительном направлении, дается выражением (2.118). Так как п велико, для отклонения относи-
-К-даятИ'999543- (114
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
П
тельной частоты хт = — р можно использовать нормальное распределение. Величина V (положение частицы после п шагов) определяется равенством
Y — (2m — п) I
и
Поэтому находим
P (У <Y<y + dy) = f (у) dy = f (X) dx =
ж* 1 ( 1 1 „V
= dy,
б /2я 2nla У^2я
где з* =
Задача 58. Электростанция дает ток заводу и используется для электрификации села. Если при работающем конвейере завода в селе окажутся зажженными 350 стандартных электролампочек, то напряжение настолько понизится, что конвейер остановится. Эмпирически установлено, что в наиболее загруженные вечерние часы в среднем за много дней каждая лампочка горит 0,7 всего времени, при значительной длительности одного горения. Сколько стандартных электролампочек можно подключить в домах, чтобы вероятность остановки завода в течение одного вечера не превосходила IO-4?
Решение. Обозначим искомую величину — число стандартных лампочек, которые можно подключить,— через га. Тогда, поскольку одновременное горение 350 лампочек уже не допускается, границей допустимого положительного отклонения относительной частоты от наи-вероятнейшего значения является
a = ^--0,7. (2.136)
Необходимо, чтобы вероятность такого или большего положительного отклонения не превосходила 10~4. Это будет выполнено, если вероятность того, что модуль отклонения больше или равен а, будет равна 2-IO"4. Следова- S за]
