Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
МЕРА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИСТЕМЫ СОБЫТИЙ
115
тэльно, tI3 [-J-j =0,9998. В таблице 2 отсюда находим, что = 3,72 С другой стороны, согласно (2.128)
Получаем квадратное относительно л-'/» уравнение: 3S0n-i — 0,7 _ о 79
IWT
Решение его п = 449. Итак, можно подключить 449 лампочек.
§ 32. Мера неопределенности полной системы событий
Пусть задана полная система событий Л
A1, A2, . . ., An. (2.137) Соответствующие этим событиям вероятности
P(A1)iP(A2).....Р(4П). (2.138)
Полагая, что п > 2, рассмотрим три частных случая:
1) P (Лі) = 0,99 и, следовательно, вероятность каждого из остальных событий мала.
2) P (Л,) = 0,49, P (A2) = 0,49 и, следовательно, вероятность каждого из остальных событий мала.
3) Вероятности всех событий сравнимы между собой. В случае 1) можно достаточно уверенно предсказать,
что, по-видимому, произойдет событие Ai. В случае 2) предсказание будет менее определенным — произойдет, по-видимому, либо событие A1 либо событие A2. В случае 3) предсказать что-либо трудно.
Можно сказать, что в случае 2) система событий более неопределенна, чем в случае 1), а в случае 3) более неопределенна, чем в случае 2).
Чтобы ввести количественную меру неопределенности полной системы событий, естественно считать, что каждое событие вносит вклад в эту величину; при этом событие, вероятность которого близка к единице, должно вносить (116
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
малый вклад в .меру неопределенности системы, так как относительно этого события с большой степенью уверенности можно считать, что оно случится. Точно так же малый вклад в меру неопределенности должно вносить событие, вероятность которого очень мала, так как с большой степенью уверенности можно предсказать, что это событие не случится. Наоборот, вклад в меру неопределенности события, вероятность которого заметно отлична и от 0 и от 1, существенна, так как трудно предвидеть, произойдет это событие или не произойдет.
Основываясь на этих соображениях, уместно за меру неопределенности системы событий -А принять величину
п
н М) = - S P (Ai) log P (Ai) (2.139)
i=l
(о выборе основания логарифма будет сказано чуть позднее). Тогда г'-е событие системы вносит в меру неопределенности вклад, равный члену
-P(A1) log P (Ai). (2.140)
Этот член всегда положителен. Он стремится к нулю, когда P(Ai)-*-1 и когда P (Ai) 0. Следовательно, равна нулю мера неопределенности системы событий, у которой вероятность какого-то события равна 1, а вероятности всех остальных событий равны 0. Только при таком распределении вероятностей событий мера неопределенности системы событий равна нулю. И это есть минимальное значение меры неопределенности, так как при любом ином распределении вероятностей событий мера неопределенности, складывающаяся из положительных слагаемых, положительна.
Выясним, при каком распределении вероятностей мера неопределенности полной системы событий, состоящей из п событий, максимальна.
Необходимо найти максимум выражения (2.139) при очевидном условии
л.
= (2.141)
і—1 S 32] МЕРА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ СИСТЕМЫ СОБЫТИЙ Ц7
Согласно правилу нахождения условного экстремума составим функцию Лагранжа,
Tl ?1
L = - 2 P № log P (4) + \ 2 р (4), (2.142)
i=l 1=1
где X — неопределенный коэффициент, и приравняем нулю все ее частные производные по P (Ai).
- log Р( A1) - 1 + X = 0, « = 1,2.....п. (2.143)
Равенства (2.143) показывают, что значения P (At) не зависят от і, т. е. все P [Ai) равны между собой и, следовательно,
= ? = 1,2,...,«. (2.144)
Таким образом, при фиксированном п наибольшую меру неопределенности имеет система событий, в которой вероятности всех событий одинаковы.
Поставляя (2.144) в (2.139), находим, что мера неопределенности полной системы событий в этом случае равна
Я (.4) = log п. (2.145)
Чем больше число событий в системе, тем больше мера неопределенности этой системы при ее максимальном значении, когда все события равновероятны.
Выберем единицу меры неопределенности полной системы событий. Наименьшее число событий в полной системе событий — 2. Целесообразно за единицу меры неопределенности принять максимальную меру неопределенности, которую может иметь полная система событий, состоящая из двух событий. Равенство (2.145) показывает, что когда основанием логарифмов в выражении (2.139) принято число 2, H (.Л) в этом случае равно 1. Таким образом, хотя в принципе основанием логарифмов в выражении (2.139) можно взять любое число, большее 1, целесообразно в связи с выбором единицы меры неопределенности принять его равным 2.
З а д а ч а 59. В первой урне находится 2 белых, 3 черных и 4 красных шара, а во второй урне — 8 белых, 2 черных, 1 красный и 1 зеленый шар. Событие состоит в извлечении шара данного цвета из урны. Определить, (118
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
какая из полных систем событиЗ имеет большую меру неопределенности.
Решение. Для полной системы событиЗ при извлечении шаров из первой урны находим
Я (J) = - -Llog -L - 4-log -§- - 4-log 1,5303.
