Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Вероятности выхода из строя четырех, пяти и шести ламп соответственно равны:
рв(4) = ет0,34.0,7*? 0,0595,
pe(5) = -5?-0,38-0,7^ 0,0102,
Pt(Q) = |у- 0,3е 0,0007. 50
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
По формуле полной вероятности (1.93) находим вероятность выхода из сі роя прибора:
P 0,0595-0,3 + 0,0102-0,7 + 0,0007-1 ss 0,0257.
З а д а ч а 26. В первых 20 партиях матча на первенство мира по шахматам четыре партии выиграл чемпион мира, шесть партий выиграл претендент и 10 партий закончились вничью. Чтобы сохранить свое звание, чемпиону мира в оставшихся четырех партиях нужно набрать не меньше трех очков. Какова вероятность того, что чемпион мира сохранит свое звание (выигрыш приносит 1 очко, ничья — 1/2 очка, проигрыш — 0 очков).
Решение. В сыгранных 20 партиях относительная частота выигрышей у чемпиона мира равна 0,2, проигрышей — 0,3 и ничьих — 0,5. Предположим, что эти относительные частоты равны вероятностям соответствующих событий. Чтобы чемпион ишра набрал не менее трех очков, необходимо осуществление одного из следующих событий: 1) все четыре партии выиграл чемпион, 2) три партии чемпион выиграл и одну свел вничью, 3) три партии чемпион выиграл и одну проиграл, 4) две партии чемпион выиграл и две свел вничью. Вероятности этих событий согласно формуле (1.100) соответственно равны
Pi - P1 (4,0,0) = -JL -0,24 = 0,0016,
Pi = P4 ( 3,0,1) = 41-0,23-0,5 = 0,0160,
Pz = Pti 3,1,0) = -|р 0,23- 0,3 = 0,0096,
Pa = р4 (2,0,2) = -^0,2^-0,52 = 0,06.
Так как эти события несовместимы, то искомая вероятность
P = P1 + P2 +P3 +Pi = 0,0872.
Пол ученное решение не является строгим, так как за вероятности событий приняты относительные частоты этих событий. Его можно считать приближенным. Если бы і 121 ВЕРОЯТНОСТЬ СЛОЖНОГО СОБЫТИЯ
51
число сыгранных партий было бы большим, то приближение было бы лучшим. В выполненном решении предполагается также, что вероятности исходов партий в ходе матча не изменяются, не сказываются, например, утомление или какие-нибудь иные психологические факторы, зависящие от времени.
Задача 27. Система состоит из большого числа (я) частиц. Объем Г фагового пространства (шестимерного пространства, координатами которого являются три координаты положения и три компонента скорости), в котором могут находиться частицы, ограничен. Найти наиве-роятнейшее распределение частиц в элементах фазового объема.
Решение. Разобьем объем Г фазового пространства на элементы объема ^1, y2, . . ., yh. Вероятность попадания частицы в і-й элемент фазового пространства = -у-.
Следовательно, вероятность попадания в объемы ^1, Y2,... . . . , Yh соответственно /I1, я2, . . ., /Ift частиц равна рп (/I1, й2,..., /ift). Нужно найти максимум этого распре-
к
деления при условии постоянства числа частиц 2 = га.
1-і
Согласно правилу нахождения условного экстремума составим функцию Лагранжа
к
L = ln BlUaL. .»J W• • • + а2 , * i=l
где а — неопределенный коэффициент Лагранжа. Беря частные производные L и приравнивая их нулю, находим
д In B1!
--gjjp- + InPi + а = О, і = 1,2,... ,к.
Так как я очень велико, то первый член с высокой точностью равен приращению In raj!, когда nt возрастает на единицу. Имеем
Эп И
5S In (га 4-1)! - In га! = In (га 4 1) ^ In га. 52
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Таким образом, получаем
п.
In — = a = const, і = 1,2,... ,к,
Pi
откуда следует, что
nt = Cpi.
к к
Так как 2 ni — п< ^ft = I, то из этого вытекает, что
г=1
Щ = Tipi = Ti»
т. е. при наивероятнешпем распределении число частиц в фаговых элементах пропорционально объему этих элементов.
З а д а ч а 28. Предыдущую задачу решить при условии, что п ( тоянная полная энергия системы равна сумме энергий частиц. Энергия частиц определяется тем, в каком фазовом элементе они находятся.
Решение. К условию постоянства числа частиц в предыдущей задаче теперь прибавляется условие постоянства полной энергии системы
2 TiiEi = Е. i=l
Функция Лагранжа дополняется членом
к
?S *Eh
і=1
и после приравнивания частных производных нулю получаем
—In /Ii + In pt + а — P^1 = 0. Отсюда следует, что
Полученное распределение называется распределением Максвелла — Больцмана. § 12] ВЕРОЯТНОСТЬ СЛОЖНОГО СОБЫТИЯ 53
Отличие полученного результата от результата предыдущей задачи объясняется тем, что учет постоянства полной энергии системы фактически означает, что учитывается взаимодействие частиц между собой. Именно при взаимодействии частиц между собой существенно соблюдение закона сохранения энергии. Следовательно, закон распределения Максвелла — Больцмана получается тогда, когда в результате состоявшегося взаимодействия частиц между собой установилось равновесное состояние системы. В задаче 27 постоянство энергии системы не учитывалось; это фактически означало, что рассматривалась система не взаимодействующих частиц. Глава 2 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
§ 13. Случайная величина с дискретным распределением
Переменная величина, принимающая различные значения в зависимости от случая, называется случайной величиной.
