Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Для того чтобы ближайший сосед находился на расстоянии, заключенном между г и г + dr, необходимо, 1) чтобы расстояние до ближайшего соседа было не меньше г — вероятность этого события равна 1 — — jP (г); 2) чтобы внутри сферического слоя 4nr2dr была молекула — вероятность этого события равна a4nr2dr. Так как эти два события взаимно независимы, то вероятность, что произойдет и то, и другое, равна произведению их вероятностей. Следовательно,
/ (г) dr = H - F (г)ЫпгЧг. (2.29)
Деля обе части (2.28) на гЧг, дифференцируя по г и имея в виду (2.22), получаем
-рг/' (г) --^rf (г) = — Anaf (г).
I
Деля обе части на —/(г) и интегрируя, находим
4
--— паг9
f(r) = cr2e 8
Произвольная постоянная находится из условия нормировки (2.26). Окончательно получаем
f (г) = Anar2 е~ ^nar. (2.30)
Как показывает (2.30), при возрастании г плотность вероятности расстояния до ближайшего соседа растет от нуля, достигает максимума при г = (2па)~ч*, а затем убывает, стремясь к нулю. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
69
§ 18. Функции от случайной величины
Рассмотрим наряду со случайной величиной X некоторую функцию от нее:
Y = т, (X). (2.31)
Очевидно, что У также является случайной переменной, причем если X — дискретная случайная величина, то и У — дискретная случайная величина.
Поставим задачу нахождения функции распределения Y, если известна функция распределения X. Ограничимся при этом случаем, когда т) (х) является строго монотонной функцией и, следовательно, X и У однозначно определяют друг друга. Этот случай имеет основное прикладное значение.
Для дискретных случайных величин задача тривиальна. В самом деле, если возможные значения X
имеют соответственно вероятности
Pu P21 • • M Pm то вычисленные по формуле (2.31) возможные значения Y
Уи Уи • . •. Уп.
имеют соответственно те же вероятности.
Чтобы решить задачу для непрерывной случайной величины, рассмотрим два случая.
1. Функция т] (я) монотонно возрастающая. Тогда, очевидно, если у = т) (ж), то для интегральных функций распределения имеем простое равенство
F1 (у) = F(x). (2.32)
2. Функция т) (х) монотонно убывающая. Тогда, если у = т) (х), то для интегральных функций распределения справедливо равенство
і-F1 (у) = F (х). (2.33)
Приравняем дифференциалы обеих частей (2.32):
/і (у) dy = f (a-) dx\
(2.34) (70
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
ІГЛ. 2
это дает соотношение между плотностями вероятностей случайных переменных. Приравняй дифференциалы обеих частей (2.33), мы снова получим (2.34). Знак минус, который при дифференцировании должен был появиться в левой части равенства, заменен знаком плюс, п это компенсируется тем, что dy, который был бы отрицательным, когда dx положительно, берется по абсолютной величине. Таким образом, обе функции и оба дифференциала, фигурирующие в (2.34), всегда считаются положительными.
Разрешим теперь (2.31) относительно X:
X = ? (Y). (2.35)
Тогда на основании (2.34) и (2.35) получаем
U(y)dy = \f\i(y)]t'(y)\dy, (2.36)
что и дает решение задачи. Знак абсолютной величины поставлен, чтобы и при монотонно убывающей ? (у) плотность вероятности случайной величины У была положительной.
На практике переход в правой части (2.34) от ж к у нужно производить каким-нибудь удобным способом, используя равенство (2.31).
Задача 38. В центре основания кругового цилиндра радиуса г находится источник излучения. Найти функцию распределения случайной величины — высоты попадания фотона в стенку цилиндра.
Решение. Все направления полета фотона можно считать равновероятными, поэтому (см. задачу 35) функция распределения угла между направлениями полета фотона и плоскостью основания цилиндра /ф) = cos?. Далее, имеем h = г tg?. Поэтому
/ (h) dh = / (?) dp = cos pd? = ra (rs + &*)-*/« dh.
Задача 39. Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) частоты в излучении абсолютно черного тела имеет вид
I Vv' eftv//tT _ J '
где h — постоянная Планка, к — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, В — постоянная, опре- I 18] ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
71
деляемая условиями нормировки. Найти функцию распределения излучения черного тела по длинам волн.
Решение. Длина волны А, связана с частотой соотношением
с
Поэтому
/ (X) dK = / (v) dv = -J^iri dv = ^5tfcarr1 л.
Задача 40. Источник излучения находится над поверхностью прозрачного вещества. Найти функцию распределения углов преломления лучей в прозрачном веществе. (Отношение показателей преломления в прозрачной среде и воздухе равно х.)
Решение. Углы падения а и преломления X связаны равенством
sin а = к sin X.
Согласно задаче 35 плотность вероятности / (а) = с sin а.
Поэтому
/(X) dX = csinada = C57^gg35 d%.
Необходимо учесть явление полного внутреннего отражения, накладывающего ограничения на возможные значения а и х>
Бели х<1, то преломление имеет место только для 0<a< aresin к. Поэтому, используя условие нормировки, находим
с = (1 — уг^я»)-1.
