Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
shffc(s — 01
|rs (01 < kr, (0) , при O^ t ^ 4. Доказательство теоремы Лобачевского Адамара
185
Доказательство. Функция
удовлетворяет
l(t) > k2h(t), /s(0) = Is(я) =0.
Таким образом, Is вогнут между 0 и s и принимает нулевое значение при t = 0, ,<$, следовательно ls(t) ^ 0 при 0 =? t ^ ,ч, что доказывает первую часть леммы. Это также доказывает, что Is увеличивается между О и s. Таким образом, Is (t) sC Is(я) при 0 ^ t, s. С другой стороны
в частности,
h(t) ^ ls(s) = rs(s) —> 0 при S —> +00,
откуда вторая часть легко выводится. ¦
Теорема П21.18. Пусть <pt — геодезический поток подмногообразия TiV. Тогда, для любого положительного числа t
ШІЮ^ІКІІ, Iiei^aewIKH, если ЇЄХ+, ШИ^^Ш Н^Ю^КН, если ЇЄХ-.
Положительные постоянные а и b независимы от t и || | обозначает длину вектора из TiV с обычной римановой метрикой.
Доказательство.
Докажем только первое неравенство, справедливость остальных может быть доказана тем же способом.
Пусть у(О, и, t) = 7(i) = 7 геодезическая из V и пусть х точка из H+(7, О), достаточно близкая к О. Существует определенная геодезическая ~fs(x, us, t) = ys(t), проходящая через х и у(t) Є у. Наше первое намерение заключается в вычислении римапова расстояния между точками -у(it) и -уs(t), рассматриваемыми как элементы TiV. Пусть rs(t) риманово расстояние между их проекциями y(t) 186
Приложение 21
и ~fs(t) на V. Для того, чтобы вычислить rs(t), рассмотрим поле Яко-би2 ф{і) вдоль 7, которое ортогонально к 7 и которое обращается в нуль при t = я. По определению,
(R(ъ Ф)ъ Ф) = "(VV, ф),
где R( ¦ , • ) является тензором кривизны и V — ковариантная производная вдоль 7. По определению, секционная кривизна в двумерном пространстве (7, ф) имеет вид
п (Д(ъ Ф)ъ Ф)
PW> W =-ГГІЇ2-•
\\Ф Il
Известно, что f>(j, ф) ^ —к2, следовательно,
(V2i/>, Ф) > к2\\ф\\2.
С другой стороны,
(V2Va Ф) = v(v-0, ф) - Iiv^ll2, VW, ^ = V2V2IWI2 = Va^IHI2,
Iiv^ll2 ? (ііНіУ.
Ж
Таким образом, длина ls(t) из %j){t) удовлетворяет неравенству
l(l2)»-(Q2 ^k2I2,
то есть
Is Ss к2Is, и Z8(O) > 0, ls(s) = 0.
Лемма (П21.17) и классическая возможность выбрать поле Якоби ф так, что
rs(t)=ls(t)+ 0(1), при X, достаточно близком к 7, дает
, ч ch[fc(,s -t)} ,
rs(t)<rs{ 0) l^r71 Л, при 0 ^ а. (П21.19
2Cm. Дж. Милнор [1]. Доказательство теоремы Лобачевского - Адамара
187
Теперь легко видеть, что угол из 7 и 7s в 7(e) стремится к нулю при S —> +оо. Следовательно, rs(s) —> 0 при s —> +00 и из леммы П21.17 снова вытекает
При S —> +00, 7s(і) стремится к точке j'(t) положительной асимптоты у'(х, и', t) к 7, и 7g(f) стремится к 7'(t). Если r(t) обозначает расстояние от 7(t) до j'(t), то из неравенств (П21.19) и (П21.20) получаем
Таким образом, риманово расстояние j(t), j'(t) Є T1V удовлетворяет неравенству
Из чего легко выводится первое неравенство теоремы П21.18.
В связи с этой теоремой, слои Ж+(и) (соотв. Ж~ (и)) называются «сжимающимися» (соотв. «растягивающимися») слоями T1V.
Е. Доказательство теоремы Лобачевского —Адамара3
Теорема П21.21. Пусть W — компактное, связное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда геодезический поток на T1W является У-потоком.
Доказательство.
Пусть V = W — универсальное накрытие W с прообразом рима-новой метрики W под действием канонической проекции 7г: W —> W. Пространство V удовлетворяет предположению предыдущего раздела. Следовательно, геодезический поток на TiV удовлетворяет условиям У-потока: условие (O) является тривиально выполненным; условие (1) следует из теоремы П21.16; условие (2) следует из теоремы П21.18. Завершаем доказательство проверкой того, что 7Г является совместимым с тремя слоениями V = W и TiW. Первая гомотопическая группа TT1 (W) изоморфна группе автоморфизмов W, поскольку W связ-
3Cm. Дж. Адамар [1]. Доказательства в разделах В и С были приведены из работы Н. Buseniann: «Metric Methods in Fiosler Spaces and Geometry», Ann. Math. Study, № 8, Princeton Univrersity Press.
(П21.20)
(при s —> +оо)
r(t) < r(0)e"fci, \r(t)\ < kr(0)e~kt, при 0.
d{j(t), i'(t)) < г(0)д/і + k2 e
-kt
для t ^ 0. 188
Приложение 21
ное. Группа TYi(W) действует как группа автоморфизмов из TiW: если и', и" Є TiW сравнимы по mod tyi{W), тогда Ж+(и') и Ж+(и") сами являются сравнимыми по mod ty\{W). Ш
ЗАМЕЧАНИЕ П21.22. Орисферы компактного, n-мерного многообразия W диффеоморфны R"'-1. Действительно, рассмотрим орисферу Ж+. Она является паракомпактным многообразием. Пусть S — компактное подмножество Ж+. Тогда (ptS покрывается диском D из ipt&(при достаточно большом значении t). Прообраз <рї D является диском, который покрывает S в Ж+. Таким образом, Ж'+ диффеоморфно R11-1, согласно следующей лемме Брауна (Brown, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1961, 12, pp. 812—814) и Сталингса (Stallmgs, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1962, 58, pp. 481-488): пусть M — паракомпактное многообразие такое, что любое компактное подмножество содержится в открытом множестве, диффеоморфном евклидовому пространству. Тогда само M будет диффеоморфно евклидовому пространству.
