Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Ii(AiHAj)=O при іфз, ?( M \ [JAiJ=O.
^ »є/ '
Разбиение а называется измеримым, если существует счетное множество {Bj\j?i измеримых множеств таких, что:
1) каждое Bj есть объединение элементов разбиения щ
2) для любой пары Ai, Aj элементов разбиения а существует Bk такое, что Ai С Bk, Aj ?. Bk или Ai ? Вк, Aj С Вк.
Если разбиение а конечно или счетно, то оно измеримо.
Определение П18.2. Два измеримых разбиения а и ?, совпадающих всюду за исключением, может быть, множества нуль, называются тождественными по модулю 0:
а = ? (rnod 0).
В дальнейшем всюду подразумевается совпадение (mod 0). Определение П18.3. Условимся записывать a ^ ?, если для каждого В Є ? существует Ada такое, что В С А.
Отношение <; есть отношение порядка на множестве измеримых разбиений. Приложение 18 Условная энтропия разбиения относительно другого разбиения
(См. §12, гл. 2) А. Измеримые разбиения
Определение П18.1. Пусть (М, ?) — измеримое пространство; разбиением а = {Аі}і?і пространства M называется набор непустых измеримых множеств таких, что
Ii(AiHAj)=O при іфз, ?( M \ [JAiJ=O.
^ »є/ '
Разбиение а называется измеримым, если существует счетное множество {Bj\j?i измеримых множеств таких, что:
1) каждое Bj есть объединение элементов разбиения щ
2) для любой пары Ai, Aj элементов разбиения а существует Bk такое, что Ai С Bk, Aj ?. Bk или Ai ? Вк, Aj С Вк.
Если разбиение а конечно или счетно, то оно измеримо.
Определение П18.2. Два измеримых разбиения а и ?, совпадающих всюду за исключением, может быть, множества нуль, называются тождественными по модулю 0:
а = ? (rnod 0).
В дальнейшем всюду подразумевается совпадение (mod 0). Определение П18.3. Условимся записывать a ^ ?, если для каждого В Є ? существует Ada такое, что В С А.
Отношение <; есть отношение порядка на множестве измеримых разбиений. 158
Приложение 18
Определение П18.4. Пусть {сц};^/ — семейство измеримых разбиений. Обозначим через
a = \/ Qti
наименьшее разбиение, содержащее все а;. Иначе говоря,
а = < Aj\Aj Є a,j для всех j [зєі
Операция Y коммутативна и ассоциативна. С другой стороны, если
а «С а' и ? «С ?',
то
а V ? «С а' V ?'.
Определение П18.5. Пусть а — измеримое разбиение. Множество счетных объединений элементов разбиения а называется алгеброй 9Л(а), порожденной разбиением а.
Доказано, что для любой подалгебры Я алгебры 1 существует измеримое разбиение а такое, что
21 = Ш(а).
Алгебра Ш(а) обладает следующими свойствами:
а = ? Ш(а) = m{?), а <; ? Ш(а) С 9Я(/3),
= V ot^)-
Ч'сг ' ісг
Х»Є/ 7 гЄ/
Приведенные выше обозначения введены в 1932 А. И. Колмогоровым [3], а также Рохлиным [3].
В. Условная энтропия
Пусть a = {Aj I г = 1, ... , г}, ? = {Bj \ j = 1, ... , s} два измеримых конечных множества. Не ограничивая общности, предположим, что //(А,;) > 0, ?(Bj) > 0 при всех г, j (определение П18.2). Условная энтропия разбиения относительно другого разбиения 159
Определение П18.6. Пусть
О при t = О,
z(t)
-{
—tIogf при Ocf^l (логарифм двоичный).
Условной энтропией разбиения а относительно разбиения ? называется величина
h(a\?) = Y,?(Bi)
fi (Bi П Ah)
Lfc=I
Свойство П18.7.
V(Bi)
h(a V ? I ?) = h(a \ ?).
Доказательство.
Элементами а V ? служат Ai П Bj, поэтому
h(a V ?\?) = J2 KBi)
і= 1
3,k
? (Bi n Aj n Bk) V(Bi)
Если
то
h(aV?\?) = $>(Д
і ф k, ?(Bi П Bk) = О, ? (Bi П Aj
i=l
?(Bi
= h(o. I ?).
Свойство П18.8.
h(a I ?) ^ О,
причем равенство имеет место, если a ^ ?.
Доказательство.
По определению, h(a \ ?) ^ 0.
Так как ?(Bi) > 0, из h(a ?) = 0 следует, что
p(Bi,nAj)\ . .
Z --—-— = 0 при всех г.
\ V(Bi) / 160
Приложение 18
Поэтому
H(bihaj)=O или h(Bi) = ц(Ві П Aj). Свойство П18.9.
h(aV?) = h(?) + h(a \ ?).
Доказательство. Пусть
?(Bi) = Ьі, ?(Bi П Ak) = Cik.
тогда
Lfc=I 4
h(?) + h(a\?) = - Y Ьі log h - Y Ь І = 1 І = 1
S S
= - Ybi log bi ~ Y YCki [log Скі ~log Ьі і=1 і=1 к=1
= - X]Cft»logCft» = Ha^ ?)-
Свойство П18.10. Если a ^ а', то h(a) ^ h(a').
Доказательство.
В силу предыдущего свойства и П18.8 имеем:
h(a') = h(a' Va) = h(a) + h(a' \ a) ^ h(a).
Свойство П18.11. Если a ^ а', то h(a \ ?) ^ h(a' | ?).
Доказательство.
По свойствам П18.9 и П18.10 получаем:
h(a I ?) = h(a V?)- h(?) <C h(a' V ?) - h(?) = h(a' \ ?). Свойство П18.12.
h(a V а' I ?) <C h(a \ ?) + h(a' \ ?). Условная энтропия разбиения относительно другого разбиения 161
Доказательство.
В силу выпуклости функции z(x)
h(a va'v?)+ h(?) sC h(a V ?) + h(a' V ?)
или
h(a V а' V ?) - h(?) sC h(a V ?) - hi?) + h(a' V ?) - h(?). Следовательно, по свойству П18.9,
h(a V а' I ?) sC h(a | ?) + h(a' \ ?).
Свойство П18.13. Если ? sC ?', то h(a \ ?) ^ h(a \ ?').
Доказательство. Пусть
?(B'k n Bj)
?(B'k I Bj),
І'Щ)
где
{B'k\=?>, [Bj] =?.
Так как меры p(B'k\Bj) положительны, а их сумма при фиксированном j равна 1, из выпуклости функции z(x) следует, что
