Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Лемма П24.9. Конструкция диффеоморфизма ф структурно устойчива. В частности, если ф' — диффеоморфизм, C1 -близкий к ф, то он Пример Смейла
199
также обладает инвариантным тором, аналогичным T2 х {О}-, «клювом», сжимающим слоем, аналогичным J2r и т.д.
Доказательство.
Из утверждения леммы следует структурная устойчивость «седла» (0. 0, 2) диффеоморфизма ф и диффеоморфизма
(;) - (; ї) о
(см. теорему Аносова, § 16, гл. 3). ¦
Теорема П24.1 следует из двух предыдущим лемм: также, как ф, диффеоморфизм ф' не является структурно устойчивым. Приложение 25 Доказательство лемм к теореме Аносова
(См. §16, гл. 3)
Лемма А
Пусть (М, <р) — У-система. Так как многообразие M компактно, существует число d > 0, такое, что каким бы ни был шар из TMp с центром р Є M и радиусом d из TMp, ограничение на этот шар экспоненциального отображения ехрр в точке р есть диффеоморфизм. Установив это, заметим, что если {ірпт п Є Z} — траектория отображения tp, то карта окрестности этой траектории есть {В.ф-1}, где В — сумма шаров B11 с центрами ipnm и радиусом d из TMtp«т, причем ограничение отображения if) на каждый из шаров Bn есть ехр(р„т. Обозначим через Xm растягивающуюся fe-плоскость X(ipnm) из TMtpUm и через Ym сжимающуюся ^-плоскость Y(tpnm). Инвариантные растягивающиеся расслоения X и инвариантные сжимающиеся расслоения индуцируют на В расслоения:
SC1=Ilr1X, (HZ1=Il)-llW.
Наконец, преобразование ip: M —>¦ M индуцирует преобразование
: В —>¦ В, 1P1= гр^ірф,
ограничение которого Ip1 \в отображает Bn в Вп+1 при очевидных ограничениях областей определения преобразования Ip1. Положив число d достаточно малым, слои расслоений X1 и W1 могут быть представлены как слои евклидова пространства Xn ® Yn с началом 0 = ipnm, в котором их уравнения имеют, соответственно, вид
y = y(0)+.fn(x,y(0)) и х = х(0) + gn(x,y(0)),
где X Є Xn, у Є Yn, a fn, gn и их первые производные можно считать столь малыми, сколь этого можно добиться с помощью подходящего выбора числа d. Доказательство лемм к теореме Аносова
201
Рассмотрим слой Qn расслоения lWn, содержащий центр О шара Bn:
X = gn(y, 0).
Отображение tIt?: {Yn | п Є Z} -у {ап | п Є Z}, ограничение которого 4S\Y : Yn —» а определено при і/Е У„П Sn соотношением
есть диффеоморфизм. Следовательно, у Є Yn можно рассматривать как координату па ап.
Рис. П25.1
Диффеоморфизм ipi преобразует ап в ап+± (см. рис. П25.1). В координатах у это определяет отображение
Ifi2 = "-<o~Xip\<o
И
^2: {Yn І п Є Zj -»• {Yu І п Є Z}, tp2 |Гп : Yn -»• Уп+1.
Утверждение П25.2. Из определения У-систем следует, что ограничение
^2Iy11 : Yn —» Yn+1
— сжимающееся:
\\ф2у\\ < 0\\у\\, о < в < 1 при любых у Є Yn П Bn. (П25.3) 202
Приложение 25
Замечание П25.4. Более точно, неравенство (П25.3) выполняется при некоторой итерации tpv диффеоморфизма tp (в определении У-систем необходимо «убить» константы). Для упрощения записи мы будем предполагать, что неравенство (П25.3) уже выполняется при v — 1. Пусть tp' — диффеоморфизм, С2-близкий к ip. Расслоения = -0-1,?"', = ф~1г1?' и преобразование, индуцированное диффеоморфизмом tp':
tp\: В ->¦ В, Lp11 = ф^фф, Ip1 L : Bn ->¦ Вп+1,
D 11
определим, как это было сделано выше. Если диффеоморфизм tp' достаточно С2-близок к диффеоморфизму tp, слои расслоения X1 близки к слоям расслоения Xi и трансверсальны слою ап. Следовательно, существует проекция шара Bn на ап вдоль слоев расслоения Х[:
П: В {а„ I п € Z}, П\Вп : Bn а„,
которая непрерывна и преобразует каждый слой расслоения в некоторую точку слоя ап, а именно в П ап.
Рассмотрим теперь отображение (см. рис. П25.5)
<р'2 : ^-1IItp1^,
• [Yn
I n {Yn I n € Z}, tp'21 : Yn Yn+ь
1 1 П
Рис. П25.5
Утверждение П25.6. Если диффеоморфизм tp' достаточно С2-близок к tp, то отображение tp'2 С-близко к tp2: каждому к > 0 соответствует число S > 0 такое, что из \\р>' — р>\\с2 < S следует неравенство:
\\<РГ2У - lP^yW < X при всех у Є Yn П Bn, (П25.7) Доказательство лемм к теореліе Аносова
203
где Il Цс= — С2-норма.
Из этого результата непосредственно следует, что отображение Cpt1 близко к Ip1 и проекция П -.Ip11Cin —> ап+1 мала, так как <р[ап и lPian = &п+і и слои расслоения трансверсаль-ны слою ап+1. Пусть теперь ? — слой расслоения содержащий центр 0 = та шара Bq.
Лемма А. П25.8. Если диффеоморфизм р>' достаточно C2-близок к диффеоморфизму <р>, то слой cp'n? близок к ср'т при всех п ^ 0. Более точно:
№п™\\ < (П25.9)
где в — то число, которое входит в неравенство (П25.3).
Доказательство.
По утверждению (П25.6), при любом данном х > 0 существует S > 0 такое, что при — < S имеет место неравенство
WiP2V - iPivW < х-
Таким образом, из (П25.3) и (П25.7) получаем:
\W2y\\<0\\y\\+x.
Положим ? = y^—q- Тогда, если ||у|| < е, то ||^2?/|| < следовательно» W1P12VW <6> ¦¦¦ и Т-Д-
Но ||та|| < є, поэтому утверждение (П25.9) доказано. ¦
Замечание П25.10. Из (П25.3) и (П25.7) также следует, что при всех у таких, что ||г/|| < С имеет место неравенство
