Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
i,j = 1
Это докалывает, что |a, ?\ непрерывно зависит от C1, ... , С!т_1 и обращается в нуль при Ct1 = C1, ..., С!т_1 = Cm-I- Следовательно, \а, ?\ < S при достаточно малом S'. ¦
Доказательство теоремы П19.1.
Пусть а — образующее разбиение относительно <р. Положим
ап = (р~п+1а V ... V (рп~ха.
Тогда
«і =? «2 =? • • • ^ ап ^ ап+1 ^ ... ,
V 9Я(Й„) = 1.
п=О
Из предыдущей леммы следует, что множество ® разбиений ? таких, что ? <С Otn при по крайней мере одном п, плотно в SF. Пусть ? Є S.
Полагая Ag = (p~q+1X V... V<^9_1A при любом разбиении А и любом целом q, получаем:
?m (Sn)m = aji+m-1-
Следовательно (см. формулу 12.12, гл. 2), h(? ) =? h(an+ т — l):
откуда
hj?m) hjan+„t_i) n + rn-1 m ^ n + m-l ' rn
h(Xq) _ %-'+1AV... V^-1A) _ Q ~ Q ~
/i(A V ... V (fi2'l~2\) 2q — 1 nl„ . =-і---g--> 2/HA' ПРИ 4 00•
HoЭнтропия автоморфизма а 167
Следовательно, устремляя то к +ос, получаем:
h(?, <р) sc h(a. ф).
Но множество S плотно в сР, и h{?, ф) непрерывна в ? по лемме П19.3. Следовательно,
h(a, ф) ^ sup h(?, ф) = Н(ф), Ф
то есть
h(a, ф) = h(tp).Приложение 20 Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны
(См. 14.1, гл. 3)
Рассмотрим группу G сдвигов и положительных гомотетий прямой {t I t є Щ.
Элемент g группы G вида
g:t^yt + x, X, у Є Ж, у > 0,
можно обозначить (ж,у).
Если g1 E G соответствует (ж', у'), то
g'(g(t)) = у(у t + х) + х' = у'у t + у'X + ж'.
Это доказывает, что если _L означает закон композиции группы G,
то
(ж', у') -L (ж, у) = (y'X + ж', у'у). Единичным элементом е является (0, 1). Элементом, обратным (ж, у), служит , і).
Операция _L и переход к обратному элементу операции дифференцируемые. Следовательно, G — группа Ли, диффеоморфная полуплоскости {(х, у)\у > 0}.
Теорема П20.1. Метрика группы G. Левоинвариангпная метрика на группе G, удовлетворяющая при ж = 0, у = 1 условию ds2 = dx2 + dy2, имеет вид:
2 = dx2 + dy2 У2 '
Доказательство.
Обозначим через Lx левое действие:
Lx(U) =X LU, X.UeG.Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны 169
Если X = (ж, у), U = (и, v), то
' и — x v
Lx-W=X у >уу
Следовательно, касательное линейное отображение TJfx-х имеет вид
= (jl!|) при С = (І) Є TGx. (П20.2)
Установив это, определим метрику на алгебре Ли TGe следующим образом:
Ше = Ы2 + v = (^j
Є TGe.
В каждой точке X из G это определяет левоипвариаптпую метрику, если положить
= (L9x-It I
Следовательно, из соотношений (П20.2) получаем:
(t\Ox = (6)2+2(6)2 при X = (ж, у) eG. У
Таким образом, метрика ds2 имеет вид:
ds2 = dx2 + dy\ (П20.3)
У
Определение П20.4. Полуплоскость {(ж, у)\у > 0}, снабженная метрикой (П20.3), называется плоскостью Лобачевского.
Глобальная система координат (х, у) называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского.
Условимся представлять точку (ж, у) плоскости Лобачевского комплексным числом z = x + гу. Теорема П20.5. Изометрии группы G.
Симметрия (ж, у) —> (—ж, у) и гомографии
Z _». z' = az + b а,b.c. de К, ad-be = 1, (П20.6)
cz + d' ' '
являются изометриями метрики (П20.3).170
Приложение 20
Доказательство сводится к простым вычислениям, если заметить, что ,2 — 4 dz dz
(z-z)2
где z = X — гу.
Теорема П20.7. Углы метрики (П20.3) совпадают с, углами евклидовой метрики.
Доказательство. Величина
dx2 + dy2 У2
пропорциональна dx2 + dy2. ш
Теорема П20.8. Геодезические. Геодезические метрики (П20.3) — полупрямые, параллельные Oy: х0, у > 0, и полуокружности с центрами на Ох. В частности, существует одна и только одна геодезическая, проходящая через две заданные точки.
Доказательство.
По теореме П20.5, симметрия ж —> —х сохраняет метрику. Поскольку эта симметрия сохраняет также полупрямую х = 0, у > 0, эта полупрямая — геодезическая.
Образ геодезической х = 0, у > 0 под действием изометрии (П20.6) есть геодезическая. Таким образом, получаются все полуокружности с центрами на оси Ox и все полупрямые х = х0, у > 0. Этими полуокружностями и полупрямыми исчерпываются все геодезические, так как для любого вектора полуплоскости всегда существует полуокружность с центром на оси Ox (или полупрямая, параллельная оси Oy), касательная к этому вектору. ¦
Теорема П20.9. Кривизна. Полная кривизна метрики (П20.3) постоянна и равна —1.
Доказательство.
Инвариантность метрики относительно преобразований (П20.6) доказывает, что кривизна К постоянна.
Если ABC = A — геодезический треугольник, то по теореме Гаусса-Бонне
ZA + ZB + ZC = тг +
JJ К da = ж + К X (площадь треугольника А).Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны 171
Рис. П20.10
Выберем заштрихованный треугольник в качестве геодезического (рис. П20.10)
Его углы равны нулю, гиперболический элемент площади равен
dx dy da = —-S У
следовательно,
Г OO
площадь ABC = 2 / dx / = ж.
J J У2
О г sin в
Таким образом, К = — 1. ¦
Теорема П20.11. Асимптотические геодезические. Пусть 7(u, t) = 7(t) — геодезическая, параметризованная длиной своей дуги, g точка полуплоскости. Тогда