Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Механика -> Арнольд В.И. -> "Эргодические проблемы классической механики " -> 41

Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики — И.: Ижевская республика типография , 1999. — 284 c.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка): egrodicheskieproblemiklassmeh1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 67 >> Следующая


i,j = 1

Это докалывает, что |a, ?\ непрерывно зависит от C1, ... , С!т_1 и обращается в нуль при Ct1 = C1, ..., С!т_1 = Cm-I- Следовательно, \а, ?\ < S при достаточно малом S'. ¦

Доказательство теоремы П19.1.

Пусть а — образующее разбиение относительно <р. Положим

ап = (р~п+1а V ... V (рп~ха.

Тогда

«і =? «2 =? • • • ^ ап ^ ап+1 ^ ... ,

V 9Я(Й„) = 1.

п=О

Из предыдущей леммы следует, что множество ® разбиений ? таких, что ? <С Otn при по крайней мере одном п, плотно в SF. Пусть ? Є S.

Полагая Ag = (p~q+1X V... V<^9_1A при любом разбиении А и любом целом q, получаем:

?m (Sn)m = aji+m-1-

Следовательно (см. формулу 12.12, гл. 2), h(? ) =? h(an+ т — l):

откуда

hj?m) hjan+„t_i) n + rn-1 m ^ n + m-l ' rn

h(Xq) _ %-'+1AV... V^-1A) _ Q ~ Q ~

/i(A V ... V (fi2'l~2\) 2q — 1 nl„ . =-і---g--> 2/HA' ПРИ 4 00•

Ho Энтропия автоморфизма а 167

Следовательно, устремляя то к +ос, получаем:

h(?, <р) sc h(a. ф).

Но множество S плотно в сР, и h{?, ф) непрерывна в ? по лемме П19.3. Следовательно,

h(a, ф) ^ sup h(?, ф) = Н(ф), Ф

то есть

h(a, ф) = h(tp). Приложение 20 Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны

(См. 14.1, гл. 3)

Рассмотрим группу G сдвигов и положительных гомотетий прямой {t I t є Щ.

Элемент g группы G вида

g:t^yt + x, X, у Є Ж, у > 0,

можно обозначить (ж,у).

Если g1 E G соответствует (ж', у'), то

g'(g(t)) = у(у t + х) + х' = у'у t + у'X + ж'.

Это доказывает, что если _L означает закон композиции группы G,

то

(ж', у') -L (ж, у) = (y'X + ж', у'у). Единичным элементом е является (0, 1). Элементом, обратным (ж, у), служит , і).

Операция _L и переход к обратному элементу операции дифференцируемые. Следовательно, G — группа Ли, диффеоморфная полуплоскости {(х, у)\у > 0}.

Теорема П20.1. Метрика группы G. Левоинвариангпная метрика на группе G, удовлетворяющая при ж = 0, у = 1 условию ds2 = dx2 + dy2, имеет вид:

2 = dx2 + dy2 У2 '

Доказательство.

Обозначим через Lx левое действие:

Lx(U) =X LU, X.UeG. Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны 169

Если X = (ж, у), U = (и, v), то

' и — x v

Lx-W=X у >уу

Следовательно, касательное линейное отображение TJfx-х имеет вид

= (jl!|) при С = (І) Є TGx. (П20.2)

Установив это, определим метрику на алгебре Ли TGe следующим образом:

Ше = Ы2 + v = (^j

Є TGe.

В каждой точке X из G это определяет левоипвариаптпую метрику, если положить

= (L9x-It I

Следовательно, из соотношений (П20.2) получаем:

(t\Ox = (6)2+2(6)2 при X = (ж, у) eG. У

Таким образом, метрика ds2 имеет вид:

ds2 = dx2 + dy\ (П20.3)

У

Определение П20.4. Полуплоскость {(ж, у)\у > 0}, снабженная метрикой (П20.3), называется плоскостью Лобачевского.

Глобальная система координат (х, у) называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского.

Условимся представлять точку (ж, у) плоскости Лобачевского комплексным числом z = x + гу. Теорема П20.5. Изометрии группы G.

Симметрия (ж, у) —> (—ж, у) и гомографии

Z _». z' = az + b а,b.c. de К, ad-be = 1, (П20.6)

cz + d' ' '

являются изометриями метрики (П20.3). 170

Приложение 20

Доказательство сводится к простым вычислениям, если заметить, что ,2 — 4 dz dz

(z-z)2

где z = X — гу.

Теорема П20.7. Углы метрики (П20.3) совпадают с, углами евклидовой метрики.

Доказательство. Величина

dx2 + dy2 У2

пропорциональна dx2 + dy2. ш

Теорема П20.8. Геодезические. Геодезические метрики (П20.3) — полупрямые, параллельные Oy: х0, у > 0, и полуокружности с центрами на Ох. В частности, существует одна и только одна геодезическая, проходящая через две заданные точки.

Доказательство.

По теореме П20.5, симметрия ж —> —х сохраняет метрику. Поскольку эта симметрия сохраняет также полупрямую х = 0, у > 0, эта полупрямая — геодезическая.

Образ геодезической х = 0, у > 0 под действием изометрии (П20.6) есть геодезическая. Таким образом, получаются все полуокружности с центрами на оси Ox и все полупрямые х = х0, у > 0. Этими полуокружностями и полупрямыми исчерпываются все геодезические, так как для любого вектора полуплоскости всегда существует полуокружность с центром на оси Ox (или полупрямая, параллельная оси Oy), касательная к этому вектору. ¦

Теорема П20.9. Кривизна. Полная кривизна метрики (П20.3) постоянна и равна —1.

Доказательство.

Инвариантность метрики относительно преобразований (П20.6) доказывает, что кривизна К постоянна.

Если ABC = A — геодезический треугольник, то по теореме Гаусса-Бонне

ZA + ZB + ZC = тг +

JJ К da = ж + К X (площадь треугольника А). Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны 171

Рис. П20.10

Выберем заштрихованный треугольник в качестве геодезического (рис. П20.10)

Его углы равны нулю, гиперболический элемент площади равен

dx dy da = —-S У

следовательно,

Г OO

площадь ABC = 2 / dx / = ж.

J J У2

О г sin в

Таким образом, К = — 1. ¦

Теорема П20.11. Асимптотические геодезические. Пусть 7(u, t) = 7(t) — геодезическая, параметризованная длиной своей дуги, g точка полуплоскости. Тогда
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed