Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Лемма П21.9. О) стремится к Н+(у, О) при t +ос.
Доказательство.
Пусть ж — точка положительной орисферы H+ (7, О). Имеем
<p(t) = \х, 7(f)| - \0, y(t)\ 0 при t->+oo.
С другой стороны, ip(t) ^ 0. Таким образом, (у (t), О) пересекает отрезок геодезической xy(t.) в точке b(t) (см. рис. П21.10). Имеем
\x,b(t)\ = \x,y(t)\-\y(t),b(t)\ = \x,y(t)\-\0,y(t)\^0 при M +оо. Доказательство теоремы Лобачевского Адамара
181
Рис. П21.10
Это означает, что каждая точка положительной орисферы H+(у, О) является предельной точкой сфер 5^(7(4), О) при t —5- +сю. Обратно, докажем, что такая предельная точка принадлежит H+(7, О). Пусть b(t) — точка сфер ^2(у(t), О) их = Iim bit) . Неравенство треугольника дает
t—ї + ОС
||.т, 7(01 - \0, 7(t)|| ^ II®, 7(01 - т, 7(011 + IlЦі), 7(01 - \0, 7(011 =
= \х, Ь(0|-)-0 при t ->• +00. Таким образом, L(x\ 7, О) = 0, то есть
хЄН+(у,0). л
Следствие П21.11. Орисферы являются выпуклыми и, если кривизна многообразия V ограничена сверху отрицательной постоянной, строго выпуклыми.
Доказательство.
Орисфера H+(у, О) является пределом шаров, проходящих через О и центр которых стремится к бесконечности вдоль у, и эти шары выпуклые (см. П21.2). ¦
Лемма П21.12. Пусть H+ (у, О) и H+ (у, О') — две орисферы на у. Если а Є Я+(7, О) и а1 Є Н+(у, О'), тогда |а, а'\ ^ |О, 0'\. 182
Приложение 21
Доказательство.
Предположим, что |а, «,'I < IО, 0'\. Из (П21.9) заключаем, что каждому t соответствует точка a(t) Є Yilit), О) такая, что
Не меняя общности, предположим, что точка О' лежит между точками О и у(t). Получаем следующее противоречие
Лемма П21.13. Две положительные орисферы Н+(у, О) и H+(~f, О') отрезают дугу длиной \О, 0'\ на каждой положительной асимптоте к геодезической у.
Доказательство.
Пусть у(а', и, t) положительная асимптота к у, которая пересекает H+(у, О') в точке а'. Точки y(t.) и а! определяют геодезическую, на которой выберем точку a(t) так, что |a(t), а'\ = —L{a'\ у. О) = = IО, О'I, и точка я/ лежит между a(t) и y(t) (см. рис. П21.14). Поскольку экспоненциальное отображение ехро/ непрерывно, получаем
Iirn a(t) = а,
t-y + OO 4 '
и точка a'(t) Є такая, что
Iim a'(t) = а'.
t-H-oo '
Таким образом, для достаточно больших t, имеем
a(t), a'(t)I < IО, О'
Ia(t), y(t)\ ^ Ia(t), a'(t)\ + \a'(t), y(t)\ < \0, 0'\ + \a'(t), y(t)\ = \0, y(t)\ = Kt), 7(01-
Iim a(t) = а Є у (а1, и', t) и | a, a'\ = —L(a'; 7, 0).
Отсюда выводим, что
|l«, l(t)\-\0, 7(t)|| ^ ||a, a(i)| + Ia(t), T(0I " \0, T(0l| = a, a(t)\ + |a'(t), 7(?)| - \0', y(t)\\ u при t, +00.
Таким образом, а Є H+(у, О). Доказательство теоремы Лобачевского Адамара
183
у(а',и\ t)
О
О'
y{t)
г
н\г, О)
н\у, О')
Рис. П21.14
Теорема П21.15. Положительные асимптоты к 7 являются ортогональными траекториями положительных орисфер на у.
Доказательство.
Доказательство теоремы П21.15 является прямым следствием лемм П21.12 и П21.13.
Наконец, заметим, что отрицательные орисферы Н~(7, О) определяются аналогично из отрицательных асимптот (t —5- —00). ¦
D. Орисферы на TiV
Унитарное касательное расслоение многообразия V обозначается через TiV и р: TiV —>• T является канонической проекцией.
Пусть и — точка на TiV\ и определяет геодезическую 7(ри, и, t) = = 7(и, t) = 7(?), подъем которой в TiV снова обозначается через 7(t). Из раздела В нам известно, что существуют две орисферы Н+(7, ри) = Н+(и) и Н~(7, ри) = Н~(и), проходящие через ри. Множество унитарных векторов, ортогональных H+(и) (соотв. Н~ (и)) вдоль H+ (и) (соотв. Н~(и)) и ориентированных подобно и является (dimУ — 1)-размерным подмногообразием Ж+(и) (соотв. Ж~(и)) на TiV. Подмногообразия Ж называются орисфсрами из TiV. 184
Приложение 21
Теорема П21.16.
1) Все у(и, t) и подмногообразия Ж+(и), Ж~(и) являются слоениями T1V;
2) В каждой точке и Є T1V эти слоения трансверсальны, то есть
T(T1V)u = X+ ®X~ZU,
где X+ (соответственно, Х~, Zu) является касательным пространством к Ж+(и) (соответственно, Ж~(и), у (и, t)) к точке и;
3) Эти расслоения инвариантны относительно геодезического потока ipt
щЖ±(и) = Ж±(щи), щу(и, о = 7(lPtU, О-
Доказательство.
(1) Следует из самого построения слоев;
(2) Следует из строгой выпуклости H+ (соотв. Н~) (см. П21.11);
(3) Следует из теоремы П21.15. ¦ Инвариантность расслоений сводит исследование дифференциала tpl к исследованию его ограничений на Ж+(и) (соотв. Ж~(и)) и у(и). Теперь, в завершение предположим, что V является универсальным накрытием W компактного риманова многообразия W отрицательной кривизны. В частности, кривизна V ограничена сверху отрицательной постоянной —к2.
Лемма П21.17. Пусть rs(t) — однопараметрическое семейство (.S > 0) числовых, C2-дифференцируемых функций. Предположим, что
rs ^ k2rs (k = const > 0)
для каждых s, t ^ 0 и rs(0) > 0, rs(s) = 0. Тогда
chf k(s — 01
r8(0<MO) Ch[fca] ' при 0^ t^s-
Предположим также, что
lim гв = 0.
S-> + ос r! = S
Тогда, для достаточно больших значений s,
