Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
1) через точки g и j(ti) проходит геодезическая и притом только одна-,
2) при t\ —>¦ +оо (соответственно, при t\ —>¦ — оо) эта геодезическая стремится к предельному положению; 172
Приложение 20
3) это предельное положение есть геодезическая, проходящая через точку g и пересечение 7(+00) (соответственно, 7(-00)) кривой 7 с осью Ох. Эта геодезическая называется геодезической, положительно (соответственно, отрицательно) асимптотической к 7.
Доказательство.
Пусть 7(/:1) — точка кривой 7. Через g и 7(^1) проходит окружность, имеющая единственный центр на оси Ox (в пределе эта окружность вырождается в прямую, паралельную оси Oy). По теореме П20.8, это доказывает утверждение 1.
Из формулы (П20.3) для метрики видно, что при t\ —у +оо (соответственно, при ti —>¦ —00) 7(^1) стремится к оси Ох, т.е. к пересечению 7(+00) (соответственно, 7(-00)) геодезической 7 с осыо Ox (см. рис. П20.12). Это делает очевидным остальную часть теоремы. Таким образом, геодезические, положительно асимптотические к 7(t), являются полуокружностями с центрами на оси Ox и полупрямыми, параллельные оси Oy, проходящие через 7(+00). ¦
Определение П20.13. Орициклы1. Траектории, ортогональные по-
1IIoHHTHe, введенное Н.И.Лобачевским. Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны
173
ложительной (соответственно, отрицательной) асимптотике геодезической 7, называются положительными (соответственно, отрицательными) орициклами геодезической 7.
Теорема П20.14. Орициклами служат окружности, касательные (сверху) Ky = 0, и прямые у = const > 0.
Доказательство.
Найдем (для определенности) положительные орициклы геодезической 7.
По определению П20.13 и теореме П20.11, это — траектории, ортогональные полуокружностям, проходящим через 7(+00) с центрами на оси Ox (и расположенным над ней).
Инверсия с полюсом 7(+00) = (0, а):
X + гу — а —>¦ -А-
X — гу — а
преобразует эти полуокружности в полупрямые
у < 0, X = const.
Траекториями, ортогональными этим полупрямым, служат прямые, параллельные оси Ох:
у = const < 0. (П20.15)
Но наша инверсия есть инволюция, сохраняющая углы, и евклидовы углы равны римановым углам (теорема П20.7). Поэтому образами прямых (П20.15) относительно нашей инверсии служат искомые ортогональные траектории: это окружности, проходящие через 7(+00), касательные к оси Ox и расположенные над осью Ox (см. рис. П20.12). ¦
Теорема П20.16. Римановы окружности. Орициклами служат римановы окружности бесконечного радиуса с центрами на бесконечности.
Доказательство.
Рассмотрим все геодезические, проходящие через точку т: это семейство полуокружностей, проходящих через точку т и ортогональных оси Ox (теорема П20.8). 174
Приложение 20
Их траектории, ортогональные в римановом (или евклидовом, см. теорему П20.7) смысле, имеют вид римановых окружностей с центром в точке то. Это — окружности пучка с точками Понселе то и то' (точка то' симметрична точке то относительно оси Ох). В частности, степень точки оси Ox относительно одной из этих окружностей равна |(тото')2.
Установив это, рассмотрим риманову окружность, проходящую через неподвижную точку п геодезической 7 и центр то на геодезической 7 (см. рис. П20.17). Если точка то, удаляется в бесконечность по 7, т. е. стремится к Ох, то то,то' —>¦ 0. Следовательно, степень точки оси Ox относительно нашей окружности стремится к нулю. Таким образом, наша окружность в пределе переходит в окружность, касающуюся оси Ox в точке 7(+сю) и проходящую через точку п, т.е. в орицикл (теорема П20.16). Наоборот, ясно, что таким образом получаются все орициклы. ¦
Теорема П20.18. Пусть 7(и, і) и У (u', t') — две взаимно асимптотические геодезические, параметризованные дугой t. При подходящем выборе начала отсчета на 7 и 7' имеем:
у ( + со)
X
т'
Рис. П20.17
d(l(t), 7'(«)) =? ас
-t
t ^ 0,
где d — риманово расстояние между точками геодезических 7(і) и 7'(?'). а постоянная, не зависящая от t. Примеры римановых многообразий отрицательной кривизны
175
Рис. П20.19
Доказательство.
Выберем начала отсчета п па геодезической 7 и п' — па геодезической 7' на одном и том же орицикле (см. рис. П20.19). Если те и то/ — точки пересечения геодезических 7 и 7' с орициклом 2, то дуги nrh и п'т' равны (1 и 2 — параллельные кривые). Пусть
TUiti = п'т' = t.
Вычислим т,т' на орицикле 2. Уравнение орицикла 2 имеет вид: X = г sin и, у = Г + Г COS и, откуда, используя соотношение для ds1, получаем:
YfJ1' fix'
-?= Г \/dx2 + dy2 ^ Г du и^ _ ^
J У J l + cosM 2 2
Ї71 Ш
Точно также на орицикле 1 имеем: 176
Приложение 20
Аналогичные вычисления показывают, что
t = nfh = log
t' = п'т' = log Следовательно.
, Un
tgT
. Un' tg^"
- log
, Um
tg^T
-Iog teY
е* =
tg Un 2 І Un' tg^ і Uni tg^T" tg U11 T
tg Um 2 tg U^ tg^f- tg Um 2
—ь тата = пп' • е'К
пп
"V
Но римаиово расстояние d(m, та') меньше или равно длине ду-
ги тата , поэтому
d(m. та') ^ пп' ¦ е
Обобщение П20.20
