Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Y^KAiI B^-P(BrkIBj) ^
YjIt(AiIB1k)-P(B1kIBj)
Поскольку ? ^ ?', каждое Bj есть объединение некоторых B1k:
Bj = \jB'kr, к'
следовательно,
Y?(Ai I В'к)р(В'к I Bj) = Y^Ai I = PiAi I Bj).
к w V(Bj)
Отсюда мы заключаем:
Y4l'(Ai I в'к)} ¦ р(В'к I Bj) <С z[p(Ai I Bj)]. к
Умножая правую и левую части на P-(Bj) и суммируя по і и j, получаем П18.13. ¦ 162
Приложение IH
Предыдущие свойства распространяются на счетные измеримые разбиения (см. Рохлин и Синай [5]).
Если а и ? — два счетных измеримых разбиения, то а индуцирует на каждом элементе Bi разбиения ? с ренормированной мерой измеримое разбиение a. Bi с энтропией Ъ,(а.вг)-, которая определяет условную энтропию разбиения а относительно ?:
h(a \ ?) = j h(c\Di)dn?.
M\?
Здесь M I ? — пространство, точками которого являются элементы разбиения ?. Мера /i? на M | ? определяется следующим образом:
если р: M M \ ? — каноническая проекция и р_1(К) измеримо, то К С M I ? называется и Pb(K) = Vb(P-1K).
Нетрудно проверить, что предыдущее определение энтропии h(a\?) совпадает с определением, данным в конечном случае, когда разбиения а п ? конечны. Можно проверить также свойства П18.7-П18.13 и следующие свойства. Свойство П18.14.
OO
Пусть а\ «2 • • • \J ап = а, тогда lim h(an \ ?) = h(a \ ?).
п—1 n^x
OO
Свойство П18.15. Пусть h(a) < оо и /? ^ ... ^ V ?n = ?. Тогда
B=I
lim h(a I ?n) = h(a \ ?).
Ti-^OO Приложение 19 Энтропия автоморфизма а
(См. теорему 12.26, гл. 2)
Докажем следующую теорему1. Теорема П19.1 (А.Н.Колмогоров). Если а — образующее разбиение относительно Lp, то h(p) = h(a, р).
Прежде всего приведем несколько лемм.
Обозначим через 3 множество измеримых разбиений с конечной энтропией. Для заданных a,? Є определим
\a,?\ =h(a I ?) +h(? \ a).
Лемма П19.2. |«,/3| есть расстояние на 3.
Доказательство.
Ясно, что |а, ?\ ^ 0. Если |а, ?\ = 0, то h(a \ 0) = 0, следовательно, a ? (формула 12.7, гл. 2). Точно также ? ^ а, следовательно, а = ?. Ясно, что \а, ?\ = \?, «J. По формулам (12.11), (12.12) и (12.9) (гл. 2),
h(a I 7) = h(a V 7) - h{7) sC h{a V ? V 7) - h(? V 7) + h(? V 7) - /1(7) = = h(a I ? V 7) + h(? I 7) <C h(a I ?) + h(? I 7). Точно также имеем
/1(7 I a) ^ h(? I a) + /1(7 I ?). Кроме того, мы заключаем, что
KtI =? I«,?\ + IAtI- я
Лемма П19.3. При фиксированном р энтропия h(a, Lp) непрерывна по а на 3. Более того, если а, ? Є 3, то
Ih(a, <p)-h(?, Lp)j 5: \a,?\.
1IIpHBOflHMOe доказательство основано на идеях доказательства Рохлина [4]. 164
Приложение 19
Доказательство.
По формуле 12.11 (гл. 2), если положить
ап = aV ipa V ... V if'l~1a, ?n = ? V if? V ... V Ifn'1 ?,
получаем
h(?n I O - h(a„ I ?n) = [h(anV?n) - h(an)] - [h(an V ?n) - h(?n)] = = h(?n) - h(an).
Поскольку h(- I •) ;> 0, получаем
I h(? n) ~ h{an )| ^ h(?n I ctn) + h(a n I нп)>
С другой стороны, (см. формулу (12.10), гл.2)
h(an I ?n) = На V ... V ipn~la \ ?n) SC
?: (a I ?n) + Ціра \?n) + ... + Hiipn-1O. I ?,,),
а так как ?, (p?, ... , ірп~гА ^ ?n, получаем (см. формулу (12.9), гл. 2): Цап I ?n) <С h{a I ?) + h(ipa \ ip?) + ... + h (ip'^a \ ip'^?) = n h(a \ ?). Аналогичным образом,
h(?n І а») її nh(a \ ?).
Суммируя, получаем:
Ih(?n) - h(an)I € n[h(a I ?) + h(? I a)] = nh\a, ?\.
Утверждение леммы мы получим, разделив правую и левую части равенства на п и устремив п к +эо. ¦
Лемма П19.4. Конечные разбиения плотны в SF.
Доказательство.
Пусть а Є SF', обозначим через C1, C2, ¦¦¦ элементы положительной меры разбиения а. Предположим, что число этих элементов бесконечно.
Пусть ап — разбиение элементов
C1, ... ,Cn-u En, где En = М\(С1и...иСп). Энтропия автоморфизліа а
165
Так как ап ^ а, имеем:
\а, ап \ = h(a | а„) + h(an \ a) = h(a) - h(an) =
ОС
= M(En) logM(En) - Yv(Ci) IogM(Ci). •j=u
Но lim ?(En) = 0, и ряд Y^1 ?(Ci) log?(Ci) сходится; следовательно,
п—юо
lim I а, ап\ = 0.
п—> OO ¦
Лемма П19.5. Если ai, а2, • • • — последовательность разбиений таких, что
осі ^ а2 ^ ... ^ ап ^ ап+1 :? . . . ,
(П19.6)
\J Ш(ап) = 1,
л=1
то множество разбиений ? конечной энтропии таких, что ? ап, по крайней мере при некотором п всюду плотно в -SF.
Доказательство.
По предыдущей лемме, достаточно доказать, что для любого конечного разбиения (у. и любого <5 > О существуют некоторое п и ? Є З такие, что
? їС ап, |а, ?\ < 8.
Пусть Сі, C2, ¦¦¦ , Cm — элементы разбиения а. Из (П19.6) следует, что при всех S' > О существует некоторое п и множества C1, ... , С'т_1 алгебры ?DT(am) такие, что
M((Ci U Ci) \ (Ci П Cl)) < S', і = 1,...,т-1.
Построим разбиение ? множества М\ его элементы Di, ... , Dm определяются следующим образом:
Di=C'i, D2=C2X (C2 П C'i), Di = С- \ (Ci П (С[ U ... U C\_i))
при і = 2, ... , то — 1, и
Dm = M \ (С[ U ... U С'т_і). 166
Приложение 19
Ясно, что ? Ctn и
\а, ?\ = h(a I ?)+h{? \ et) =
OO OO
= 5>(Ci) IogM(Ci) + $>№) IogMA)-i = l %= 1 OO
- 2 A*(Ci П Di) logП Dj).
