Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Механика -> Арнольд В.И. -> "Эргодические проблемы классической механики " -> 49

Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики — И.: Ижевская республика типография , 1999. — 284 c.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка): egrodicheskieproblemiklassmeh1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 67 >> Следующая


||^2"2/1К с, если с ^ yz~§-

Действительно, если Ці/Ii ^сис) к , то

1 — и'

\\<Р2У\\ <в\\у\\ + >с<вс + >с<с.

Лемма В

Рассмотрим теперь слой 7„ расслоения ЗС, который проходит через (рпт. Пусть j1 С Bn — соответствующий слой расслоения ^1:

In = Іг11и- 204

Приложение 25

определяемое при X Є Xn П Bn соотношением = (ж, Jn(ж, 0)), есть диффеоморфизм. Следовательно, ж Є Xn можно рассматривать как координаты на у1. Диффеоморфизм ipi преобразует у1 в уп+1. В координатах ж это определяет отображение

Cp3 = SrViS>: {хп І п Є Zj ->¦ {X

Ясно, что ^з(О) = 0.

Утверждение П25.11. Из определения У-систем следует, что ср3 \х : Xn —>¦ Xn+1 — растягивающее отображение

при всех Х\, х,2 Є Bn П Xn.

Замечание П25.13. Более точно, утверждение (П25.12) выполняется при некоторой степени отображения рз; для упрощения записи будем предполагать, что эта степень равна 1.

Пусть теперь tp' — диффеоморфизм, С2-близкий к р. Рассмотрим ?n = = ipi? — слой расслоения !?,[ в Bn, определяемый условием c^" (0) Є ?n (п Js 0) (см. рис. П25.14).

\\v*xi - lPzX2W > 0||жі - ж2||, где в > 1,

(П25.12)

Рис. П25.14 Доказательство лемм к теореме Аносова

205

По лемме А, этот слой есть некоторая окрестность центра О шара Bn. Пусть у = hn(x) (X Є Х„) имеет уравнение слоя ?„. Если отображение tp' достаточно близко к tp, то ж Є Xn П Bn можно выбрать в качестве локальных координат па ?n: отображение

Е: {Хп I п ^ 0} {?n I п ^ 0}, Е\Хп : Xn ?n,

определяемое соотношением x —> (x,hn(x)) при x Є Xn п Bn, есть диффеоморфизм.

Заметим теперь, что по построению ?n преобразование tp\ отображает ?n на ?n+i- Следовательно, этим определяется диффеоморфизм

Ip13 = E-1V11E: {Хп I п ^ 0} {Хп I п ^ 0}, tp'3\Хп : Xn ->¦ Хп+1.

Утверждение П25.15. Если диффеоморфизмы tp и tp' достаточно C2 -близки, то диффеоморфизмы tp% и tp'3 C1 -близки:

для каждого х > 0 найдется o > 0 такое, что из \\tp — tp'\\C2 < o следует:

-tp3(x) - ?>з(ж)|| < >f -(tPz - - (^з - ^)(^2)11 < х\\хі - X2

при всех X, xi, X2 Є Xn П Bn, п ^ 0.

Доказательство.

Это непосредственно следует из того, что слои ?n, п Її 0 близки к слоям Jn в C1-TonoflorHH, а это, в свою очередь, следует из построения 7„, ?n, осуществленного в теореме Синап (см. §15). ¦

Лемма В. П25.17. Если диффеоморфизм tp' достаточно C2-близок к tp, то существует слой 8, причем только один, расслоения W такой, что tp'no близок к tpn при всех п ^ 0. Более точно, существует точка Xg Є X0, причем только одна, такая, что ||уз™жо|| < є при п Її 0.

Для доказательства нам необходима следующая лемма. Лемма П25.18. Пусть R — сумма евклидовых пространств Rn, п Її 0, одной и той же размерности. Пусть

T = К + L: R ^ R,, T\Rn : Rn ->¦ Rn+1

— диффеоморфизмы такие, что

і) K(O) = о, IIif (х) - К(у)\\ > 0||® - arll, O > 1,

(П25.16) 206

Приложение 25

2) ||і|| <; є, \\L(x) - L(y)\\ < є\\х-у\\, в-є>1,

при любых x, у Є R-

Тогда существует точка х Є Rq, причем только одна, такая, что последовательность Тпх ограничена и для этой точки х

11Т"Ж11 ^ е^Т (П25.19)

при всех п ^ 0.

Доказательство.

Ясно, что T7-1Jij : Rn —>¦ Rn-1 (п = 1,2...) — диффеоморфизм и

ЦТ"1?/ - Т_1ж|| ^ -J-1|у - ж||. (П25.20)

и — є

Пусть Ьп(с) — шар ||ж|| < с в Rn. Тогда в силу 1 и 2:

Tbn(c) D Ьп+1(вс-є). (П25.21)

Предположим, что с достаточно велико:

Qc-є ^ с. (П25.22)

Тогда из (П25.21) следует, что Tbn(c) D bn+i(c) и поэтому T~1bn+1(c) С Ьп{с),

и, таким образом,

T-H1(C) D Т~2Ь2(С) D ... D T~nbn(c) D ...

Но по (П25.20) диаметр множества Т~пЬп(с) не больше, чем 2с(0 — е)~п, а последняя величина стремится к 0, если п стремится к +оо. Следовательно, пересечение Q Т~пЪп(с) состоит только из точ-

п>0

ки X Є Ьо(с), но именно это и требовалось доказать: величина

с= ? 0-1

удовлетворяет неравенству (П25.22). ¦ Доказательство лемм к теореме Аносова

207

Доказательство леммы В. П25.23.

Из утверждений (П25.11) и (П25.19) следует, что отобралїе-ние ірз удовлетворяет условиям предыдущей леммы. Достаточно положить К = ірз, L = ір'3 — ірз, заменив е на х в неравенстве относительно L.

Достаточно положить х = ?(0 — 1), чтобы, исходя из (П25.19), получить неравенство |\ір'3пх01 < є. Это доказывает лемму В. ¦

Таким образом, мы получаем сжимающий слой S расслоения Y', который остается близким к орбите ipnm при п > 0 в смысле леммы В. Если диффеоморфизм tp' достаточно близок к <р, то тот же самый слой остается близким к орбите ipnm при п > 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно применить к ipлемму А. Для ip'^1 расслоение Y' растягивающее, и слой S близок к та. Следовательно, в силу замечания (П25.10) слои ip'no (п < 0) остаются в окрестности орбиты ipnrri в смысле леммы А:

Ы~"у\\ с.

Таким образом, из леммы А и В вытекает следующее утверждение. Утверждение П25.24. Если ip' достаточно C2-близок к ip, то существует слой S расслоения Y{ в Bq такой, что слои ip[*S (—ос < п < < +схз) из Bn остаются в є-окрестности центра шара Bn.

Так как сказанное выше верно для ip'-17 найдется слой ? расслоения X11 в шаре Bq, который обладает тем же свойством. Так как слои 6 и ? трансверсалъны в B0, существует точка пересечения z = д П ?, единственная в є-окрестности центра шара Bq. Гомеоморфизм к из теоремы Аносова мы определим, положив к(гп) = фг. Нетрудно доказать, что все конструкции непрерывно зависят от точки то; следовательно, к — гомеоморфизм. Отношение <р>'к = к <р очевидно, как и то, что к є-близок к тождественному отображению. Приложение 26 Интегрируемые системы
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed