Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Очевидное обобщение мы получим, снабдив полупространство хп > О пространства Ж" метрикой
ds2 =
(dxx)2 + ... + (dxn)2 [Хп?
Это — пространство Лобачевского постоянной кривизны, равной — 1. Орициклы представляют собой (п — 1)-мерные многообразия, а именно: евклидовы плоскости хп = С и евклидовы сферы, касательные к плоскости і„=Ои расположенные под плоскостью хп = 0. Приложение 21 Доказательство теоремы Лобачевского—Адамара
(См. 14.3, гл. 3)
A. Многообразия отрицательной кривизны
Напомним сначала некоторые классические свойства римановых многообразий отрицательной кривизны.
Теорема П21.1. Пусть V полное односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда:
1) Существует одна и только одна геодезическая, проходящая через две данные различные точки:
2) V диффеоморфно евклидовому пространству:
3) пусть ABC — геодезический треугольник, углы которого А, В, С, а стороны а, Ъ, с. Тогда:
a2 + b2 - 2abcosC sC с2.
Доказательство может быть найдено в работе С.Хелгасона [1]. Прямым результатом является следующее следствие: Следствие П21.2. Учитывая вышеупомянутые предположения, ри-маповы сферы V являются выпуклыми, то есть геодезическая имеет не более двух общих со сферой точек.
B. Асимптоты к данной геодезической
Как обычно, 7(ж, и, t) = 7(t) = 7 обозначает геодезическую, исходящую из ж с вектором начальной скорости и и длиной дуги t. Точка на 7, соответствующая t, также записывается через 7(t). Риманово расстояние между двумя точками а и Ь обозначается через \а, Ь\. Через V обозначим полное, односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. 178
Приложение 21
Теорема П21.3. Пусть v' — точка из V. Геодезическая, соединяющая v' с точкой 7(t) Є 7, стремится к пределу, когда t —у +эо (соответственно, t —> —оо). Этот предел является геодезической.
Доказательство. См. рис. П21.4
Рис. П21.4
Точки V1 и j(ti) определяют одну и только одну геодезическую 7(?/, U1, t,). Положим ,Si — I?;, 7(ii)|. Возьмем t2 > ti и применим неравенство (3) теоремы (П21.1) к геодезическому треугольнику v\ 7(^1); 7(^2)- В очевидных обозначениях имеем
(S2)2 + (Si)2 - (*2 - ?i)2 =? Zs1S2 cos(«i, M2).
С другой стороны, неравенство треугольника, примененное к v, v', 7(ii), дает
h - |t), v'\ ^ Si ^t1 + |t), v'\,
откуда
Si =ti + 0(l), ^i —У +00.
Аналогично,
s2=t2 + 0(l), t2^+ 00. В результате получаем
lim cos («і, u2) = 1,
11 ! t2—» + OO
то есть
lim (?7?) = O-
11, ta—H-oc Доказательство теоремы Лобачевского - Адамара
179
Таким образом, согласно Коши, щ стремится к пределу и', когда ti —у +00.
Геодезическая j(v', и', t) является предельным положением y(v', Ui, t), поскольку экспопспциалыюе отображение ехр,,, непрерывно. Геодезическая 7(4/, и', t) называется положительной асимптотой к 7. Отрицательные асимптоты определяются подобным образом при t —у —оо. я
Замечание П21.5. Легко доказать, что положительная асимптота к у, исходящая из данной точки положительной асимптоты 7(1/, и', і) является ничем иным, как 7 (геометрически). Таким образом, можно говорить о положительной асимптоте к у, не упоминая определенную точку Более того, множество положительных асимптот к у является (dim V — ^-параметрическим семейством геодезических.
С. Орисферы1 V
Пусть снова V — полное, односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. Пусть y(v, и, t) = 7(t) — геодезическая ии' — произвольная точка из V.
Лемма П21.6. Разность
\v', у(і)\-\ь,у(і)\ = ф(і)
стремится к конечному пределу L(v'; 7, v) при t —у +оо. Этот предел является C1 -дифференцируемой функцией v' и v.
Доказательство.
Примем І2 > ti. Неравенство треугольника, примененное к v', y{ti), 7(f2). Дает
<p(t3) = \v', y(t2)\- \v, y(t2)\ 5: I«', 7(^)| + 17?), 7(t2)| - K 7(i2)| = = \v', y(ti)\ - \v, y(ti)\ = <p(ti).
Таким образом, <p(t) монотонно убывает. С другой стороны, <p(t) ограничена, поскольку неравенство треугольника, примененное к v, v', 7(t), дает
\<p(t)\ = \\v',y(t)\-\v, 7(011 ^ \v, v'\,
1Cm. А.Грант [1]. 180
Приложение 21
что доказывает существование предела
Iim tp(t) = L(v'j 7, v).
t^+oo
Второе утверждение следует из неравенства
I [К, 7(*i)l - 1?, 7(ii)l] - [I«', j(h)\- \v, y(h)\] I ^ W, 41 + k «1І, то есть
IL(v[; 7, v) - L(v'\ 7, ^ \v', v[\ + vi\.
Очевидно, что
L(v'\ 7, v) - L(v'\ 7, ui) = To1, (П21.7)
где ill — алгебраическая мера vv\ на ориентированной геодезической 7.
Определение П21.8. Геометрическое место точек ж, для которых L(ж; 7, О) = 0, называется положительной орисферой, проходящей через точку О па 7, и будет обозначаться через H+ (7, О).
Согласно лемме (П21.7), H+ (у, О) является (^-дифференцируемым подмногообразием размерности (dimV — 1). Пусть — произвольная точка на 7. Отношение (П21.7) показывает, что H+ (у, О) имеет уравнение
L(ж; 7, wi) = Ovі.
Получаем орисферы, являющиеся сферами бесконечного радиуса с центром в бесконечности. Риманова сфера с центром в точке а, проходящая через Ь, будет обозначаться XXа? Ь).
