Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
2) не существует сепаратрис, соединяющих два седла.
Наконец, всякое векторное поле на S2 может быть аппроксимировано (е смысле C2-топологии) структурно устойчивым полем.
Доказательство см. в работе: Dc Baggis [1]. Приложение 24 Пример Смейла
(См. § 16, гл. 3)
Смсйл [2] доказал следующую теорему, которая показывает, что в размерностях больше двух структурно устойчивые системы не являются системами «общего положения».
Теорема П24.1. Существует диффеоморфизм ф тора T3 такой, что ни один C1-близкий диффеоморфизм ф' не является структурно устойчивым.
Опишем конструкцию, лежащую в основе этой теоремы.
А. Вспомогательный диффеоморфизм ц>
Пусть T2 — тор {(X, у) (mod 1)}. Определим диффеоморфизм ^p1 прямого произведения T2 X {z —1 ^ z 1} на себя следующим образом:
(mod 1),
Ip1 =
1 2
Пусть B1 — шар радиуса 1J2 с центром (0, 0, 2) в T2 х
V2
(см. рис. П24.2):
x2 + y2 + (z-2)2^I
Определим диффеоморфизм шара В в T2 х {z|0 ^ z ^ 3}
/2
X —> -х, z ->• 2z - 2. 196
Приложение 24
Установив это, получим тор T3, отождествив T2 х {—3} и T2 х {3}. Нетрудно доказать следующую лемму.
X : направление растяжения Y : направление сжатия
Лемма П24.3. Существует диффеоморфизм с^: T3 —> T3 такой, что
1) его ограничение на T2 х {z\ — 1 ^ 2 ^ 1} есть ip 1;
2) его ограничение на В есть Ip11-,
1-2
3) tp оставляет инвариантной точки х = у = 0 тора T3:
<р(0, 0, z) = (0, 0, г'), и если 0 ^ Z ^ 2, то 0 < zr < z: если z = 1, то 0 ^ z' ^ Пример Смейла
197
Замечание П24.4. Ясно, что T2 х {0} — тор в T3, инвариантный относительно ip. Ограничение диффеоморфизма ip (или <р\) на T2 х {0} есть не что иное, как диффеоморфизм из примера 13.1 (гл. 3):
Q-G 30 (modi)- (п24-5)
Напомним некоторые свойства этого диффеоморфизма. На T2 x {0} существуют два расслоения Ж и 0J/, касательные, соответственно, к растягивающему полю Xm и сяшмающему полю Ym (см. лемму 17.6, гл. 3). Каждый слой из ?? (или IV) всюду плотсп в T2 х {0}. Периодические точки1 этого диффеоморфизма плотны на T2 X {0}. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что все рациональные точки
/р р \ о
I-, — І Є T псриодичпы, так как <р сохраняет знаменатель.
Если теперь перейти к диффеоморфизму <р тора T3, то без труда получаются следующие свойства. Периодические точки диффеоморфизма <р на T2 x {г I -1 ^ г ^ 1} совпадают с периодическими точками диффеоморфизма (П24.5), так же как и расслоения SC и aJf в T2 х {0}. Расслоение 0JJ образует инвариантное сжимающее расслоение T2 х {z | —1 ^ г ^ 1}, слои которого есть «плоскости» вида Ym X [z | —1 ^ г Sj 1}, где Ym — некоторый слой из 0J/.
Замечание П24.6. Окружность х = у = U тора T3 есть «сепаратриса», соединяющая два «седла» (0, 0, 0) и (0, 0, 2).
В. Диффеоморфизм ip
Построим диффеоморфизм ф, возмущая диффеоморфизм ip.
Пусть Go — сфера с центром в (0, 0, 3/4) и радиусом d в T3:
G0 = {(ж, у, z) I ж2 + у2+ (z- 3/4)2 <С d2}.
Положим G = Ip-1Go, <р(х, у, z) = (х', у', z') и заметим, что d, можно выбрать достаточно малым для того, чтобы LpG П G = 0. Определим ф следующим образом:
ф(т у z) = Ilf^x' 2/5 Z>> = ^x''- z^ ВНЄ ' ' 1 (ж' + гіФ(х, у, z), у1, Z1) на G,
1T. е. точки J є tt2 x {0} такие, что существует отличное от нуля целое число N, при котором
= S- 198
Приложение 24
где Ф — неотрицательная С°°-функция є носителем в G, достигающая максимума +1 в точке <^-1(0, 0, 3/4), а г) > 0 — число, достаточно малое для того, чтобы отображение ф было диффеоморфным.
Замечание П24.7. Образ сепаратрисы х = у = О, 0 ^ г ^ 2 под действием диффеоморфизма ф обладает «клювом» В (см. рис. П24.2). Этот клюв находится в области T2 x {г I —1 ^ г ^ 1}, где ф совпадает с ip — ipi. В силу замечания (П24.4) эта область расслоена на сжимающиеся слои размерности 2 — плоскости, параллельные Oz и опирающиеся на сжимающиеся слои X. Пусть
x у
" + Г = 1 а Ь
— уравнение сяшмающегося слоя в системе координат (ж, у, z). Из слоев, опирающихся на «клюв» В, рассмотрим слой 3-, для которого а — максимум (см. рис. П24.2). Этот слой либо содержит периодическую точку ? диффеоморфизма ф, т.е. точку, для которой существует целое число N ф 0 такое, что
<¦•4 ?- С Є T3,
либо не содержит периодической точки. В первом случае мы говорим, что «клюв» периодичен, во втором называем «клюв» непериодическим.
Лемма П24.8. Диффеоморфизм ф не является структурно устойчивым.
Доказательство.
Это следует из двух следующих результатов:
1) Произвольно малым изменением величины г/ в определении диффеоморфизма ф мы получаем диффеоморфизм ф" сколь угодно (^-близкий к ф и аналогичный ф. Учитывая плотность периодических точек (см. П24.4) можно предположить, что «клюв» диффеоморфизма ф периодичен, а «клюв» диффеоморфизма ф" непериодичен или наоборот.
2) Если «клювы» диффеоморфизмов ф и ф" одновременно периодичны или одновременно непериодичны, то не существует гомеоморфизма h, близкого к тождественному и такому, что
ф" oh = h о ф.
Действительно, h устанавливает соответствие между «клювами», сжимающими слоями и периодическими точками. ¦
