Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
(См. гл. 4, § 19)
Ж. Лиувилль доказал, что если в системе с п степенями свободы
P = (piv,P»), g = (gi,...,gn) (П26.1)
известно п первых интегралов в инволюции1:
H = F1, F2, ... , Fn: (Fi, Fj) = О, (П26.2)
то система интегрируема в квадратурах.
В классической механике известно много примеров интегрируемых задач; во всех этих примерах интегралы (П26.2) были найдены.
Уравнения Fi = fi = const, і = 1, ... , п, определяют инвариантные многообразия системы (П26.1). Можно заметить, что во всех примерах инвариантными многообразиями служат торы и что движение на этих торах квазипериодичпо (см. пример 1.2, гл. 1). Докажем теперь, что такая ситуация неизбежна для всех систем, допускающих однозначные интегралы (П26.2). Доказательство основано на очень простых топологических соображениях.
Теорема П26.3. Предположим, что уравнения Fi = /; = const, і = = 1, ... , п, определяют компактное связное многообразие M = Mf, и что
1) всюду на M grad Fi (i = 1, ... , п) линейно независимы,
2) определитель det дественно нулю.
dl
df
определяемый ниже (П26.7) не равен тож-
^ве функции F(p,q), G(p,q) находятся в инволюции, если их скобка Пуассона
ip Сч = OF 8G OF 8G ' dp dq dq dp
тождественно равна нулю. Интегрируемые системы
209
Тогда
1) M является n-мерным тором, и окрестность многообразия M есть прямое произведение тора и евклидова пространства ' х Rn;
2) эта окрестность допускает координаты действие-угол (I, tp), (І Є Bn С Ж", tp (mod 2-7г) Є Tn) такие, что отображение I, ip —>¦ р, q каноническое2 и Fi = Fi(I).
В результате уравнения (П26.1) представимы в виде
/ = 0, <p = w(I), где w(I) = Щ,
и траектория на торе M квазипериодическая, так как H = F± = = H(Ii, ... , In), и уравнения (П26.1) в координатах I,tp — это уравнения Гамильтона2 с функцией Гамильтона H(I).
Доказательство.
Обозначения П26.4
Воспользуемся следующими обозначениями. Пусть ж = (р, q) — точка фазового пространства M2n; градиент функции F(x) обозначим grad F = Fxi, ... , Fx.2n. Тогда уравнения (П 26.1) запишутся в виде
x = IgvmlH, 1=[е ~о)> (П26-5)
где E — единичная матрица п х п.
Для любых двух векторов x, у Є M2re определим кососкалярное произведение
[х, у] = (Ix, у) = -[у, х],
где (•, ¦) — обычное скалярное произведение. Можно показать, что [ж, у] представляет собой сумму площадей проекций параллелограмма со сторонами ж, у на плоскости 2?? (г = 1, ... , п).
Линейные преобразования, которые сохраняют кососкалярное произведение
[?ж, Sy] = [ж, у] при любых ж, у,
называются симплектическими преобразованиями. Например, матрица I задает симплектическое преобразование.
2Cm. приложение 32. 210
Приложение 26
Произведение [grad F, grad G] = (F, G) называется скобкой Пуассона функций FwG. Ясно, что функция F есть первый интеграл системы (П26.5) в том и только том случае, если ее скобка Пуассона с функцией Гамильтона тождественно равна пулю. Если две функции имеют скобку Пуассона, равную нулю, то говорят, что они находятся в инволюции.
Конструкция. П26.6
Рассмотрим п векторных полей на M:
Ct=ZgradFi (г = 1, ...,п).
Эти поля линейно независимы в каждой точке многообразия М, так как преобразование I невырождено и grad Fi независимы.
Эти поля касательны к M, так как их орбиты служат решениями гамильтоновых уравнений с функцией Гамильтона Fi (эти уравнения допускают Fj в качестве первых интегралов, так как (Fi, Fj) = 0 и каждая траектория лежит в М).
Наконец, поля ?,i,?j коммутируют, поскольку их скобка Ли есть не что иное3, как поле скоростей гамильтоновой системы с функцией Гамильтона (Fi,Fj) = 0.
Следовательно, M — компактная связная орбита группы Ж™, действующей транзитивно и дифференцируемым образом; таким образом, доказано, что M = Т™. Кроме того, M задано уравнениями Fi = fі = const,, и поля grad F,; определяют в окрестности орбиты M структуру прямого произведения.
Пусть теперь "fi(f), і = 1, ... ,77, — некоторый базис 1-циклов на каждом торе Mf : F = f, расположенном в окрестности орбиты М. Рассмотрим интегралы действия
= і / pdq. (П26.7)
7,(/)
Так как det
OI1 dfi
ф 0, уравнение 1(f) = I мо?кно разрешить
3Лемма: скобка Ли двух гамильтоновых векторных полей ? = / grad F, г] = = I grad G есть гамильтоново поле с функцией Гамильтона —(F, G). Доказательство см. в приложении 32. Интегрируемые системы
211
(в окрестности орбиты М) И определить тор M(I) = Mf(i), соответствующий заданным значениям I.
Положим теперь
я
S(I,q) =Jpdq, (П26.8)
Qtl
где путь интегрирования некоторая кривая на торе M(I) (следовательно, р = p(I, q)).
Многозначная функция S является производящей функцией (см. приложение 32) канонического преобразования I, tp —>¦ р, q, определяющего координаты действие-угол:
P=fq, *>=§. (П26.9)
Лемма П26.10. Форма pdq на M(I) замкнута.
Доказательство.
В действительности достаточно доказать, что интеграл от pdq вдоль бесконечно малого параллелограмма, касательного к M(I), равен нулю.
Ясно, что этот интеграл есть сумма площадей проекций параллелограмма на плоскости pi qi. Следовательно, достаточно доказать, что [С, 77] = 0 для любых векторов г], касательных к M(I). Но, как было показано в П26.6, любой вектор, касательный к M(I), есть линейная комбинация векторов / grad F^. По формуле (П26.2) эти векторы удовлетворяют соотношению [grad Fi, grad Fj] = 0; но І симплекти-ческое преобразование, поэтому [/ grad Fi, I grad Fj] = 0. Таким образом, [С, //] = 0 и лемма доказана. ¦
