Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
dp2 Л dq2 = sin a dq2 A da,
Элементарное доказательство этой теоремы приводится у Дж. Д. Биркгофа [1]; оно сопряжено с длинными вычислениями. Приложение 32 Производящие функции канонических отображений
(См. §21, гл. 4)
Результаты, изложенные в этом приложении, принадлежат Гамильтону и Якоби.
А. Конечные канонические отображения
Пусть
x = (p,q), (р = (pi, ...,рп), 1= (Чі, -¦-, Qn)), точка канонического пространства M2n. Дифференцируемое отобра-
A: X^X = (Р(р, q), Q(p, qj), (Р = (Pu ..., Pn), Q = (Q1, ..., Qn))
называется каноническим, если оно сохраняет интегральный инвариант Пуанкаре:
для любой замкнутой кривой 7.
Из (П32.1) для любой 2-цепи следует сохранение суммы площадей проекций па плоскости pi,qo
жсііис
(П32.1)
(П32.2)
Иначе говоря, 2-формы dp A dq и dP A d,Q совпадают:
dp Adq = dP A dQ, где P = Р(р, q), Q = Q(p, q). Производящие функции канонических отображений 233
Если область определения отображения А одпосвязпа, то условия (П32.1) и (П32.2) эквивалентны. Из (П32.3) следует, что дифференциальная форма в R2n:
замкнута (так как dpAdq + dQ AdP = 0). Таким образом, локально мы получаем функцию точки пространства Ж2":
x0
Предположим, что в окрестности точки х величины qi,...,qn и Pi, ..., Pn образуют систему локальных координат, т.е.
Тогда А(х) можно считать функцией 2п переменных Р, q, определенных в окрестности точки p. q:
r(P,Q)
A(P,q)= pdq + QdP, где P = P(p,q), Q = Q(p,q).
Определение П32.5. Функция A(P, q) называется производящей функцией канонического преобразования А.
Ясно, что А определено только локально и с точностью до постоянной. Из (П32.4) следует, что
Лемма П 32.7. Пусть А(Р, q) — функция от 2п переменных такая, что
в окрестности точки (Р, q). Тогда уравнения (П32.6) можно локально разрешить относительно Р, q:
pdq + QdP, где P = Р(р, q), Q = Q(p, q),
x
(П32.6) 234
Приложение 32
Действительно, дифференциальная форма pdq + Q dP = dA на R2" замкнута, следовательно,
dp Adq = dP A dQ.
К сожалению, производящая функция А обладает тем неприятным свойством, что не является геометрическим объектом: действительно, она зависит не только от отображения А, но и от координат р, q в пространстве R2n.
Из уравнений (П32.6) мы заключаем, что производящая функция тождественного отображения1 равна Pq. Следовательно, каждое каноническое отображение, близкое к тождественному, обладает производящей функцией, близкой к Pq.
В. Инфинитезимальные канонические отображения
Рассмотрим канонические отображения Se, производящие функции которых Pq + eS(p, q\ є) зависят дифференцируемым образом от параметра є <С 1.
Если параметр є мал, то отображение Ss близко к тождественному.
Из уравнений (П32.6) следует, что разложения в ряд Тейлора по є функций Р(р, q) и Q(p, q) имеют следующий вид:
P = р — є^щ + 0(є2), Q = q + e^ + 0(e2), (П32.8)
где S = S(p, q\ є).
Инфинитезимальное каноническое отображение Ss, по определению, есть класс эквивалентности семейств SB\ два семейства Se, S1e принадлежат одному и тому же классу, если IS1e — S^l = 0(є2). Определение П32.9. Функция точки фазового пространства S(p, q) называется производящей функцией инфинитезимального отображения Se (или функции Гамильтона).
Ясно, что функция S определена с точностью до постоянной. Убедимся теперь, что функция S имеет геометрический смысл: она не зависит пи от выбора канонических координату, q, пи от выбора представителя Se в классе эквивалентности: это — отображение S: R2re —>¦ R1.
1Bto мнемонический прием, позволяющий легко восстановить уравнения (П32.6). Производящие функции канонических отображений 235
Действительно, пусть 7 — кривая, соединяющая две точки х,у пространства R2n: Oj = у — х. Положим ye = Se7, и пусть а(є) — полоса, образованная кривыми 7?,0 < є' < є, и ориентированная так, что дае = 7 — 7е + ... (см. рис. П32.10).
Положим
г(є)] = Ц dp A dq.
*(є)
(П32.11) (5p, Sq)
(dp,dq)
Рис. П32.10
В силу соотношения (П 32.2) интеграл не зависит от выбора канонических координат, а в силу соотношения (П32.1) не зависит и от выбора кривой 7, а зависит только от х и у.
Лемма П32.12. Производящая функция S инфинитезималъного канонического преобразования S6 определяется соотношением
S(y)-S(x)= ±І[а(є)}
(П32.13)
є=0
и, следовательно, не зависит от выбора канонических координат р, q. Доказательство.
В силу соотношений (П32.8), полагая Sex — х = Sx = (Sp, Sq), получаем:
?(S(y)-S(x)) =є J = j (Sqdp-Spd,q) + 0(e2). (П32.14)
С другой стороны, по формуле (П 32.11) интеграл от dp Adq по а(є) равен
'(є)] = /
dp Adq = / ^q
Л № Ь<1
+ Oie2).
(П32.15)
Из формул (П32.14) и (П32.15) следует соотношение (П32.13). ¦
Инвариантность производящей функции S можно выразить в иной форме. Пусть А — конечное каноническое отображение, Se — инфини-тезимальное каноническое отображение. Ясно, что каноническое отображение Te = ASeA^1 также инфинитезималыю. 236
Приложение 32
Лемма П32.16. Производящие функции SuT инфинитезималъных канонических отображений Se и Te связаны соотношением
