Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Механика -> Арнольд В.И. -> "Эргодические проблемы классической механики " -> 53

Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики — И.: Ижевская республика типография , 1999. — 284 c.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка): egrodicheskieproblemiklassmeh1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 67 >> Следующая


Утверждение 2 следует из того, что если ?2] = 0, то [?і, //] = 0 при любом Tj (так как по утверждению 1 ?i] = 0 и [?i, ?3] = 0 при любом ?3). Следовательно, [?і, ?2] ф 0. 222

Приложение 29

Определение П 29.7. Собственное значение А, |А| = 1, A2 ф 1, называется положительным (соответственно, отрицательным) собственным значением симплектического отображения А, если

С] > 0 (соответственно, ?]<()), ? Є <т,

на действительной инвариантной плоскости <т, соответствующей собственным значениям А, А.

Это определение корректно. Действительно, векторы AS1 и лежащие в плоскости не коллинеарны, так как A2 ф 1. Таким образом, в силу следствия П29.6 ?] ф 0 на а. Это означает, что [j4?, ?] сохраняет постоянный знак при всех ? Є <т.

Замечание П29.8. Знак собственного значения имеет простую геометрическую интерпретацию. Поскольку [?, у] / 0, если вектор ? не параллелен вектору у, плоскость а допускает каноническую ориентацию. Следовательно, можно говорить о положительных и отрицательных поворотах.

Ограничение отображения А па <т есть эллиптический поворот па угол а, 0 < |а| < 7г. Собственное значение А положительно (соответственно, отрицательно), если отображение А на а есть поворот на положительный (соответственно, отрицательный) угол.

Основной результат Крейна утверждает, что столкновение двух собственных значений одного знака на окружности |А| — 1 не приводит к неустойчивости, тогда как два собственных значения различных знаков могут покинуть окруоісность |А| = 1 после столкновения, образовав таким образом четверку вместе с двумя комплексно сопряженными им собственными значениями (см. рис. П29.3).

Более точно, пусть A(t) — симплсктическос отображение, непрерывно зависящее от t, и пусть числа ±1 не являются собственными значениями при |?| < т. Предположим, что при t < 0 все собственные значения Xk отображения А простые и расположены на окружности |А| = 1, тогда как при ? = 0 некоторые собственные значения Xk сливаются.

Теорема П29.9. Если все собственные значения, которые сливаются, одного знака, то после столкновения они остаются на окружности |А| = 1, а отображение А остается устойчивым при t < є, є > 0.

Мы докажем эту теорему в простейшем случае, когда сливаются все собственные значения A, ImA > 0. Общий случай сводится к простейшему, если выбрать каноническое подпространство R2'(t), соответствующее I сталкивающимся собственным значениям и комплексно сопряженным с ними. Параметрические резонанси

223

Предположим для конкретности, что собственные значения А/. положительны:

[А?, С] > 0 при ? Є ak

((Tk — плоскость, порожденная собственными векторами Ck, Ck, где ACtk = \k(k)-

Доказательство теоремы П29.10.

Рассмотрим квадратичную форму [j4?, ?]. Ее билинейная полярная форма псвырождсиа. Действительно,

[А?, V] + [Arh С] = [А?, г,] - [A-1Z, V] = [(Л - A-1K, V],

если [(Л — rf\ = 0 при любом векторе г), то (А — = О,

следовательно, (А2 — Е)АС = 0. Таким образом, отображение A2 имеет собственное значение, равное 1, а именно это исключено по условиям теоремы (А ф ±1).

Следовательно, квадратичная форма [А?, ?] невырождена при |?| < т, включая t = 0. С другой стороны, при t < 0 эта форма положительно определена. Действительно, каждый вектор rj есть сумма своих проекций щ на инвариантные плоскости а f., соответствующие парам собственных значений Ak, А/., |А*| = 1. Из следствия П29.6 мы заключаем, что плоскости (Ti1 попарно ортогональны (в смысле [•, •]). Таким образом,

[Aih ц] = ^[Ащ, Vi] = ^[Am, Vk],

к, I к

так как

[Ащ,тц] = 0, если кфі (Ащ Є сгк, щ Є (T1).

Но [Arjk, ір,- > 0, поскольку Xk — положительное собственное значение, и поэтому [Al], ц] > 0.

Итак, форма ?] положительно определена при t < 0 и не-

вырождена при t, = 0. Следовательно, она положительно определена при t = 0, а, значит, и при t < є, є > 0.

Но [AAnC, = [j4?, ?], так как отображение An симплекти-

чсскос. Следовательно, орбита AnC принадлежит эллипсоиду ?] = = const, т.е. при t < є отображение A(t) устойчиво. ¦ 224

Приложение 29

Замечание П29.11. То же рассуждение доказывает признак параметрической устойчивости: симплсктическос отображение А параметрически устойчиво в том и только том случае, если все собственные значения A^ лежат на окружности |А&| = 1, A2 / 1, и на каждом инвариантном подпространстве, соответствующем кратным собственным значениям А, А, квадратичная форма [Af, ?] положительно (или отрицательно) определена. Приложение ЗО Метод усреднения для периодических

систем

(См. § 22, гл. 4)

Пусть Г2 = B1 X S1 — фазовое пространство, B1 = {I = = (Ii, ... ,і/)} — ограниченная часть евклидова пространства Кг, S1 = = {ip (mod 27г)} — окружность, F(I,<p), f(I,<p) — дифференци-

руемые функции, периодические по <р>:

F:Sl^R.1, f-.Q^-R1, WiB1^R1,

наконец, є ^ 1 — малый параметр.

Теорема П30.1. Рассмотрим в О следующие системы:

<p = u(I)+ef(I,<p) i = eF(I,p>)

(П30.2)

j = eF(J), где F(J) = ^-J F(J, ip) dip. (ПЗО.З)

о

Тогда, если ш(Г) ф Oe І2, решения систем (П30.2) и (ПЗО.З) с одинаковыми начальными условиями I(O) = J(O) удовлетворяют неравенству
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed