Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
\I(t) — J(t)I < Ce при любом t, 0 ^ t ^ і,
где С — постоянная, не зависящая от є.
Доказательство.
Попытаемся улучшить систему (П30.2) при помощи новой переменной
P = P(I,v) = I + eg(I,p>), g-.n^R1. (П30.4)226
Приложение ЗО
Из (П30.2) и (П30.4) следует, что
P = sF(P, ф) + S0^dШ(Р) + 0(е2). Чтобы уничтожить члены порядка є, положим
ч>
g(I, <Р) = j
F(P) - F(P, у) UJ(P)
dip:
(П30.5)
функция <р) вполне определена, так как
2тг
и J(F-F) dtp = О,
следовательно, + 2тг) = g(<p).
t = О
Рис. П30.11 Система (ИЗО.5) принимает вид
P = є F (P) + 0(є2). (П30.7)
Пусть P(t) решение системы (П30.7) с начальными условиями
P(O) = J(O) = /(0), P(t) = P(Kt), <p(t)).
(П30.8)Метод усреднения для периодических систем
227
Из (П30.7) очевидным образом следует, что
\P(t) - J(t)\ < C1E при любом t, (К ? «с і (П30.9) Из (П30.4), (П30.6) и (П30.8) мы заключаем, что
IP(t) - 7(i)| < C2 є при любом t. (П30.10)
Неравенства (П30.9) и (ИЗО.10) доказывают теорему. Они доказывают также, что истинное движение состоит из усредненного движения и малых быстрых колебаний (см. рис. П30.11). ¦Приложение 31 Поверхности сечения
(См. 21.9, §21, гл. 4)
Пусть Н(р, q) — функция Гамильтона системы с п степенями свободы (следовательно, размерность фазового пространства р, q равна 2п). Пусть H = h — (2п — 1)-мерная поверхность уровня энергии, а Е: H = h, qi =0 — сечение поверхности постоянной энергии размерности 2п — 2. Пусть 7і ф 0 в некоторой области So поверхности S, и P = (р2,... ,Рп), Q = (?2, • • • • <?и) образуют систему локальных координат (см. рис. П31.1).
Предположим, что траектория га-мильтоновой системы, выходящая из точки Xo области S0, пересекает S0. Тогда, принимая во внимание, что Cj1 ф 0, мы заключаем, что все близкие траектории также пересекают So, и тем самым получаем отображение А: Si -> So, где Ei С S0 С Е.
Теорема П31.21. Отображение А — каноническое, т. е. для любой замкнутой кривой у на Ei
(П31.3)
PdQ = j) PdQ,
7 A7
PdQ = p2dq2 + ... +pndqn.
Рис. п31.1 Доказательство.
Рассмотрим пучок траекторий, выходящих из 7 в (2п + 1)-мер-Iioc пространстве {(р, q, і)}. Кривые 7 и Ay — проекции в пространство {{р, q)} двух замкнутых кривых у' и Ay', образованных началь-
1BTa теорема давно известна, но, насколько можно судить, ее доказательство никогда не было опубликовано.Поверхности сечения
229
ііьіми точками (t = 0) и конечными точками интегральных кривых р = p(t), q = q(t) в пространстве {{р, q, (I)} (см. рис. П31.4). Следовательно, согласно теореме Пуанкаре Картана
pdq-Hdt= j pdq-Hdt, (П31.5)
7' A7'
где
P dq = Pidqi + ...+Pn dqn. Ho H = const вдоль 7' и Ay', поэтому
Hdt= j Hdt = 0.
7' Ay
Далее получаем:
pdq = <j> pdq и j> pdq = j) pdq.
7' 7 A7' A7
Кроме того, q 1 = const на S, поэтому
1 Pi dqi = <j> Pi dqi = 0.
7' A7'
Таким образом,
jp dq -Hdt = j I' d,Q, j p dq -Hdt = j I'd
'IQ
A7' A7
и (П31.3) следует из (П31.5).
Теорема доказана. ¦
Пример П31.6. Рассмотрим задачу Биркгофа о выпуклом «биллиарде».
Пусть Г — замкнутая выпуклая кривая на плоскости E2. Предполагается, что материальная точка M движется в области, ограниченной кривой Г, и что соударения точки M с кривой Г происходят по закону упругого отражения — угол падения равен углу отражения (см. рис. П31.7).230
Приложение 31
Рис. П31.7
Состояние точки M в момент отражения определяется двумя параметрами: углом падения а, 0 ^ a ^ 27г, и точкой соударения с границей Г. Положение точки соударения А определяется алгебраической длиной 72 дуги OA кривой Г (О — произвольно выбранное начало). Иначе говоря, множество состояний точки M (в момент отражения) образует тор T2 в фазовом пространстве {сі (mod 27г),72 (mod L)}, где L — длина кривой Г.
Мы получаем естественное отображение А подмножества этого тора на себя: состояние непосредственно после отражения от Г переходит в состояние непосредственно перед перед следующим соударением о Г.
Теорема П31.8 (Дж. Д. Биркгоф). Отображение А сохраняет, интегральный инвариант I = Hmadq2 Л da.
Доказательство.
Ясно, что между двумя отображениями движение точки M подчиняется уравнениям Гамильтона в соответствующем четырехмерном фазовом пространстве. Выберем в окрестности тора T2, о котором говорилось выше, особую систему координат. Каждой точке M поставим в соответствие координаты (qi, q2), где qi — расстояние от точки M до ее ортогональной проекции на Г, q2 — длина дуги ОА. Ясно, что в окрестности Г координаты qi, q2 (mod L) образуют систему ла-гранжевых координат. Пусть pi и р2 — соответствующие импульсы, масса M считается равной единице. Ясно, что на Г импульсы р± и р2 совпадают с соответствующими скоростями v:
Pi = IVI sind, р2 = 11; I cos a.
Функция Гамильтона есть кинетическая энергия:Поверхности сечения
231
Рассмотрим в четырехмерном пространстве pi, Ці, 5г поверхность Е, задаваемую уравнениями
H=^q1= 0 (т.е. |и| = 1, M Є Г).
Движение от одного отражения до другого определяет отображение A: E —>¦ Е. Координаты р2, q2 являются локальными координатами на E (сі ф 0). По теореме (П31.2), А — каноническое отображение, следовательно, оно сохраняет 2-форму