Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, формула (П26.8) в действительности определяет многозначную функцию S, а уравнения (П26.9) определяют, по крайней мере локально, каноническое преобразование I, tp —>¦ р, q.
Переменные действие-угол. П26.11
В действительности формулы (П 26.9) определяют глобальное каноническое преобразование, для которого переменные р, q 27г-периодичны по tp. 212
Приложение 26
Чтобы убедиться в этом, заметим, что при любом / дифференциал от S(I, tp) есть глобальная 1-форма на M(I). Следовательно, то же справедливо и относительно dtp, определяемого формулой (П26.9).
Вычислим периоды 1-формы dcpi на Mf вдоль циклов -yj. По формуле (П 26.7) имеем:
і «* -і*{Ш)-& L "s=?<2'г^,,=
Таким образом, <рц — угловые координаты на торе M(I) и теорема доказана. ¦ Приложение 27 Линейные симплектические отображения
плоскости
(См. § 20, гл. 4)
Пусть А — линейное симплектичсское отображение плоскости (р, q). Отображение А сохраняет площадь dp Л dq, следовательно, det А = 1. Поэтому произведение собственных значений Ai, A2 отображения А равно 1. Но Ai и A2 — два корня характеристического уравнения det(^4 — AE) =Oc действительными коэффициентами. Следовательно, Ai и A2 либо оба действительные, либо комплексно сопряженные: Ai = A2. В первом случае один из корней по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1:
|А2| < 1 < |Ai|.
(П27.1)
слз
Рис. П27.3
Во втором случае
1 = AiA2 =AiAi = |Ai|2 = |А2|2, Ai A2,
(П27.2) 214
Приложение 9f(
следовательно, корни располагаются на единичной окружности (см. рис. П27.3). Остается еще третий случай:
X1=X2= ±1.
Пример П27.4. Гиперболический поворот:
P- <1 ->• 2р, і q
или гиперболический поворот с отражением:
р, q -S- -2р, -ig (см. рис. П27.5).
Рис. П27.5
В обоих случаях орбита Тпх точки х = (р, q) лежит на гиперболе pq = const. Ясно, что неподвижная точка О неустойчива. Из классических теорем линейной алгебры следует, что любое отображение А первого типа (Лі ф X2, Ai и X2 действительны) есть гиперболический поворот, возможно с отражением. Иначе говоря, после замены переменных его можно записать в виде Р, Q —t XP,
А
Пример П27.6. Поворот на угол а принадлежит ко второму классу (Ai = e~ia, A2 = ніп):
р, q —>¦ р cos а — q sin а, р sin a + q cos а. Линейные симплектические отображения плоскости
215
Линейная замена переменных преобразует этот поворот в «эллиптический поворот» (см. рис. П27.7). В этом случае орбита Тпх точки X = (р, q) лежит на эллипсе с центром О. Ясно, что неподвижная точка О устойчива.
Из классических теорем линейной алгебры следует, что любое отображение А второго типа (|Ai| = А2| = 1, Ai ф A2) есть эллиптический поворот.
В первом случае (П27.1) говорят, что неподвижная точка О гиперболическая или что отображение А гиперболично в точке О.
Во втором случае (П27.2) говорят, что неподвижная точка О эллиптическая или что отображение А эллиптично в точке О.
Наконец, третий случай (А2 = 1) называется параболическим.
Замечание П27.8. Пусть А эллиптическое отображение. Тогда любое каноническое отображение А', близкое к А, также эллиптично. Действительно, корни Ai и Аг непрерывно зависят от А и должны оставаться на фигуре, образованной действительной осью и единичной окружностью (см. рис. П27.3). Следовательно, они могут покипуть единичную окружность только в точках А = ±1, что соответствует параболическому случаю.
Напомним еще понятие топологического индекса векторного поля. Рассмотрим векторное поле на плоскости р, q, которое обращается в нуль в изолированной точке: ?(0) = 0. Оно определяет отображение окружности X2 = р2 + q2 = 1 на себя В(є): Sd —> S11 по формуле
Ч
x
P
Рис. П27.7 216
Приложение 27
При достаточно малом є топологическая степень этого отображения не зависит от є и называется индексом поля в точке О. или индексом точки О.
Рассмотрим теперь векторное поле = Ax — х. Если отображение А не параболическое, то точка О — изолированный нуль поля.
Теорема П27.9. Индекс эллиптической точки равен +1, индекс гиперболической точки равен —1. а индекс гиперболической точки с отражением равен +1.
Теорема непосредственно следует из рис. (П27.5) и (П27.7). Приложение 28 Устойчивость неподвижных точек
(См. §20, гл. 4)
Пусть А аналитическое каноническое отображение плоскости р, q, оставляющее неподвижной точку О = (0,0). Предположим, что О — эллиптическая точка, т. е. что дифференциал отображения А имеет в О собственные значения Ai = сГга, A2 = ега.
Дж. Д. Биркгоф1 доказал, что если а несоизмеримо с 2-7г, то при любом s > 0 существует каноническое отображение В = В (я) окрестности точки О:
B:p,q->P,Q, B(O)=O,
такое, что в координатах Р, Q отображение А представимо в следующей «нормальной форме»:
А' = BAB-1: Р, Q —Ї P', Q'.
Пусть I, tp — канонические полярные координаты:
2I = P2 + Q2, tp = arctg 21'= P'2+ Q'2, tp' = arctg (^j
Тогда
V-I = 0(In+1),
tp' - tp = a + U1I + a2I2 + ... + ап1п + 0(In+1).
(П28.1)
Коэффициенты а, о.і, а2, ... — инварианты канонических преобразований, т. е. не зависят от В. Если а ф 27г^ и среди а\, а2, ... найдется отличный от пуля коэффициент, то Биркгоф называет преобразование А «общим эллиптическим отображением».
