Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Этот результат не выполняется для некомпактных многообразий. Рассмотрим пространство {(х, у) \ у > 0, ж (mod 1)}, снабженное метрикой
,2 (Ix2 + dz2 da = -5-.
У
Гауссова кривизна равняется —1 и универсальное накрывающее пространство является плоскостью Лобачевского (см. приложение 20). Кривая у = 1 является орициклом, гомеоморфным S .
Рис. П21.23 Приложение 22 Доказательство теоремы Синая
(См. § 15, гл. 3)
Пусть (М, ip) — У-систсма, Xm — поле растягивающихся fe-плос-костей, Ym — поле сжимающихся А;-плоскостей.
Метрика на пространстве полей ^-плоскостей
Определим прежде всего метрику на пространстве fc-плоскостей, касательных в точке т Є М.
TMm есть прямая сумма XmQYm, следовательно, fc-плоскость Um в TMm имеет уравнение
у = Р(р) ж,
где ж Є Xm, у Є Ym, и P(Um): Xm —> Ym — линейное отображение.
Определим метрику с помощью нормы линейных отображений P(Um): если Um, и U'm две fc-плоскости из TMm, то положим
IUm -u;nI = WP(Un) - P(Utm)Il = sup IP(Um)x - P(Urm)х\.
\х\<1
Метрика в пространстве полей fe-плоскостсй U определяется соотношением
\U-U'\ = sup \Um - U'm\.
теМ
Именно в этом смысле следует понимать расстояние в неравенстве (15.3) из § 15.
Пусть теперь R1 и R2 — два пространства, изоморфных Жге (п — размерность многообразия М). Предположим, что Ri (г = 1,2) прямая сумма двух подпространств Xj и Yi размерностей, соответственно, к и I:
R1 = X1QY1, R2=X2QY2. 190
Приложение 22
Пусть А: Bi —> В,2 — линейное отображение такое, что AXi = X2, AYi = Y2,
и
(\Ax\Zn\x\ при X Є X1, ("П22 1Ї
^ ±\у\ при у Є Yi, 'j
где ц — некоторая постоянная.
Лемма П22.2. Пусть Sl — оператор, индуцированный отображением А, который k-плоскостям из Ri ставит в соответствие к-плос-кости из R2. Тогда в окрестности плоскости Xi
\m-w\ s; /Х~2|{7 — и'\.
Доказательство.
По определению имеем:
\т - т'\ = sup \р(т)х - р(т')х\ =
•с Є X2
= sup |ар(г7)я-1ж-ар(г7')2і"1ж|-
И<1 г є x2
Но, если \х\ < 1 и X Є X2, то А~хх Є Xi и |А_1х-| ^ jj; следовательно,
sup ^ sup
M<1 kK/i-1 •6*2 Xex1
и
sup I[SlP(Cf) -SLP(CT)]A-1X] ^ sup /уГ1 |2l[P(C/) - P(U')]x\.
Ho
kl <і И<і
r?X2 IieX1
\(P(U) - P(U'))xI = sup |(P(C/) - P(U'))xI = 1С/ - C/'l, кроме того,
|'|<1
SGX1
(Р(С/)-Р(С/'))жЄГІ5
следовательно,
//,-1IsifP(CZ) -P(U)]x\ sC /Х"2|[Р(С/) - P(U')]z\ 5$ І-Г2\и- C/'l Доказательство теорелш Синая
191
Доказательство неравенства (15.3) из § 15 легко сводится к лемме, если принять за R2 = X2 ® Y2 и R1 = X1 ® Y1 касательные пространства TMm = Xm ф Ym и TMv-n{m) = Xv-n(m) ф Yv-n(m) соответственно. В качестве линейного отображения 21 можно принять дифференциал (ip*)n отображения ipn. При достаточно большом п неравенства (П22.1) из леммы являются следствиями аксиом У-систем. Приложение 23 Признак структурной устойчивости Андронова-Понтрягина
(См. § 16, гл. 3)
Прежде чем формулировать результат Андронова Понтрягина, напомним некоторые определения.
Пусть M — компактная дифференцируемая поверхность, X — дифференцируемое векторное поле на М.
Простые особые точки
Особой точкой векторного поля X называется точка жо поверхности M такая, что Х(хо) = 0. Если жо особая точка векторного поля, то можно предположить, что Жо совпадает с началом (0, 0) локальной системы координат (X1, X2). Если Xi, X2 — компоненты векторного поля X в такой системе координат, то
X1(x) = o11x1 + o12x2 + о(|жі| + \х2\), Жі,x2 0, X2 (х) = o21x1 + o22x2 + о(|жі| + |ж2|), xi, x2 -» 0,
где
_ дХі
Uij~ Oxj
Если матрица (a-ij) обладает только собственными значениями с отличными от нуля действительными частями, то особая точка жо называется простой.
Ясно, что это определение не зависит от системы координат. Седлом называется простая особая точка, в окрестности которой орбиты выглядят так, как показано на рис. П23.1. Такой особой точкой служит начало координат системы
j xi = ажі,
}ж2=//ж2, А/;, < 0. Признак структурной устойчивости Андронова Понтрягина 193
Простые циклы
Замкнутая орбита векторного поля X называется циклом. Цикл индекса нуль называется простым.
Сепаратрисы
Если у — траектория векторного поля X. Жц — точка траектории 7, то обозначим через 7+(жо) (соответственно, 7_(жо)) множество {x(t) 11 ^ 0} (соответственно, {x(t) \t ^ 0}), где x(t) — решение системы X = Х(х), удовлетворяющее условию ж(0) = жо и соответствующее траектории 7.
Предельными множествами траектории у называются множества Р| у-(ж), Р| 7-і-(ж), ( — замыкание).
Траектория у называется обыкновенной, если всякая траектория, выходящая из точки, принадлежащей некоторой окрестности траектории, допускает те же предельные множества, что и траектория у. Траектория, отличная от особой точки и от обыкновенной траектории, называется сепаратрисой (см. рис. П5.1 приложение 5). Теорема Андронова Понтрягина. П23.2. Пусть S2 —двумерная сфера, X — дифференцируемое векторное поле на S2.
Поле X структурно устойчиво в том и только том случае, если
1) особые точки и циклы простые и число их конечно; 194 Приложение 23
