Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Пусть V — точка на римановом многообразии V, TVv — касательное пространство в точке v. Два неколлинеарных вектора ei и е2 пространства TVv задают 2-плоскость. Исходящие из точки v геодезические и касательная к ним 2-плоскость порождают поверхность S риманово подмногообразие многообразия V ¦
Полная кривизна поверхности S в точке v называется кривизной сечения р(еі, е2) многообразия V в точке v 2-плоскости (ei, е2). Говорят, что V многообразие отрицательной кривизны, если кривизна сечения отрицательна при всех v и всех (еі, е2).
Если многообразие V компактно, то непрерывность кривизны сечения f)(eі, е2) обеспечивает существование отрицательной постоянной —к2 такой, что
р(еі, е2) =? -к2
при всех V и всех (ei, Пример многообразия отрицательной кривизны см. в приложении 20.
Относительного этого понятия см. S. Helganon [1], гл. 1. 64
Глава З
Неустойчивость геодезических потоков 14.2
Геодезический поток ipt римапова многообразия V описывает возможные движения точки, вынужденной оставаться на гладком многообразии V и не подверженной действию внешней силы (см. пример 1.4). Если V — многообразие отрицательной кривизны, то геодезические сильно неустойчивы: если v, г>о Є TiF,5 то расстояние |<p±v, Lptvо экспоненциально возрастает со временем t. Более точно, справедлива следующая теорема, доказанная Лобачевским для поверхностей постоянной отрицательной кривизны и обобщенная Адамаром для поверхностей произвольной отрицательной кривизны.
Теорема Лобачевского — Адамара 14.3. Пусть V — связное компактное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда геодезический поток на касательном унитарном расслоенном пространстве M = TiV — У-система.
Приведем схему доказательства (см. рис. 14.4). Полное доказательство см. в приложении 21.
асимптотикой
Рис. 14.4
Пусть 7(u,t) = 7(t) = 7 — геодезическая, исходящая из точки и Є TiV и параметризуема своей дугой t. Если х точка мно-
sV — универсальное накрытие многообразия V. § 14- Геодезические потоки компактных римановых многообразий
65
гообразия V, то через любую точку j(ti) проходит некоторая геодезическая 7i, исходящая из точки х. При ti —>• +ос она стремится к предельной геодезической 7'(u',t), исходящей из точки и' Є TVx.
При разумном выборе начала отсчета на 7 можно доказать, что
расстояние (7(t), j'(t)) < Ь ¦ e~xt, t ^ 0, (14.5)
где Ъ и Л — положительные постоянные, не зависящие от 7,7' и t. Такие геодезические, как 7' образуют семейство геодезических, положительно асимптотических к 7. Доказано, что эти траектории ортогональны к семейству (га — 1)-мерных поверхностей (га = dimV), так называемым положительным орисферам S+.
Будем обозначать через S+ (и) орисферу, исходящую из начальной точки и Є T\V и которая ортогональна положительным асимптотам 7(и, t). Каждую орисферу можно интерпретировать как (га — 1)-мер-ное подмногобразие в TiV — объединение нормальных к TiV единичных векторов, ориентированных в сторону t > 0. Если и Є TiV, то плоскость, касательная к орисфере S+ (и) и содержащая и, есть (га — ^-плоскость Yu многообразия T(TiVn).
Произведя замену t на —t можно аналогичным образом определить отрицательно асимптотические геодезические и отрицательные ори-сферы S~. Плоскость, касательная к орисфере S~(u) и содержащая и, есть (п — 1)-плоскость Xu многообразия T(TiVu). Исходя из определений, получаем:
T(TiV) = Xu © Yu © Zu,
где Zu — одномерное пространство, порожденное вектором скорости геодезического потока. Это условие 2 У-потока (определение 13.3).
Условие 3 следует из соотношения (14.5).
Заметим, что поля Xu и Yu вполне интегрируемы: интегральные многообразиями служат орисферы S+ и S~. Следовательно, над TiV имеются две расслоенные структуры: S+ и S~. Эти расслоеные пространства инвариантны относительно геодезического потока, так как орисферы ортогональны (га — 1)-параметрическому семейству геодезических многообразия V.
Как мы увидим, существование и инвариантность этих расслоеных пространств принадлежат к числу общих свойств У-систем. 66
Глава З
§ 15. Расслоенные структуры, ассоциированные с У-системами
Покажем теперь, что для наиболее общих У-систем существуют две расслоеные структуры, аналогичные орициклам из предыдущего раздела.
Пусть (М, tp) — У-система, где tp — У-диффеоморфизм М. Если т Є М, то обозначим через Xm (соответственно, Ym) поле растягивающихся (соответственно, сжимающихся) fc-плоскостей (соответственно, /-плоскостей).
Теорема Синая. 15.1°. Пусть tp У-диффеоморфизм. Тогда:
1) существуют два расслоения ЭС и <3/, инвариантные относительно tp, которые касательны соответственно к растягивающемуся полю Xm и сжимающемуся полю Ym. Следовательно, эти поля всегда интегрируемы.
2) Если диффеоморфизм tp': M —»¦ M C2-близок к tp, то tp' — У-диффеоморфизм. В частности, расслоения Ж и fW структурно устойчивы (сл. § 16).
Приведем схему доказательства. Полное доказательство см. в приложении 22.
Конструкция 15.2.
Доказательство основано на следующей конструкции. Рассмотрим пространство полей fc-плоскостей, касательных к М. Пусть р поле, р(т) — fc-плоскости из TMm. Преобразование tp индуцирует преобразование в пространстве полей. Обозначим это индуцированное преобразование через tp**. По определению,
