Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
tp**p(m) = tp* Pitp-1Ui),
где tp* : TM —>• TM — дифференциал преобразования tp, который отображает fc-плоскость из TMm в fc-плоскость из TMv(my
Пространство полей р снабжено естественной метрикой \pi — р2\. Таким образом, это полное пространство. Можно доказать (см. приложение 22), что в силу аксиом У-систем отображение tp** (или, по крайней мере, некоторая его положительная целая степень (<р**)п) действует
6IIo существу это было доказано в статье В.И.Арнольда и Я. Г. Синая [6]. Хотя их рассуждения касались частного случая малых возмущений автоморфизмов двумерного тора, доказательство распространяется и на общий случай. § 15. Расслоенные структуры, ассоциированные с У-системами
67
как сжимающее в окрестности растягивающего поля Xm:
|V**Pi -<р"р*Ю -\Рі-Р2\, 0 < 0 < 1, (15.3)
при
\pi - Хт\ < 5, \р2 - Хт\ < 6,
где S достаточно мало. Неравенство (15.3) доказано для tp: ясно, что оно верно для всех преобразований tp', С2-близких к <р, поскольку <р'* С1-близко к ip*.
Но из теоремы о сжимающих преобразованиях следует, что отображение, удовлетворяющее неравенству (15.3), допускает неподвижную точку. Нетрудно видеть, что полем неподвижных плоскостей р для ip служит X. Но для ip' эту роль играет другое поле р'. Ясно, что
р' = Iim [<р'")пХ,
П—?0О
<p'*p'{rn) = p'(tp'rn),
и поле р' растягивающееся для ip'.
Рассуждая аналогичным образом с <р-1, мы получаем сжимающееся поле, близкое к полю Y. Поэтому tp' — С-диффеоморфизм. Инвариантные слоения 15.4.
Предположим сначала, что система (М, tp) допускает два инвариантных слоения ЭС и 0J/ касательных, соответственно, к X и Y. Тогда система (М, tp') обладает теми же свойствами. Действительно, поле р', инвариантное относительно tp', получается следующим образом:
р' = lim (tp'**)nX.
Ti—юо
Но (tp'**)nX — поле плоскостей, касательных к слоению tp'n3C,. Следовательно, предельное поле р' интегрируемое, т.е. касательно к некоторому слоению SC'. Тем самым часть 2 теоремы доказана.
В действительности то же рассуждение доказывает существование слоения УС. В самом деле, покроем (компактное) многобразие M конечным числом локальных карт (С/, ф): каждое из с; — некоторая окрестность точки пц, фі — отображение фі: С; —> Mra (п = dimM).
В каждой окрестности Cj рассмотрим слоение .f'j3 такое, что фі(!!С°) — слоение образа фі(Сі) на плоскости, параллельные фі(Хті). Карты можно выбрать достаточно малыми для того, чтобы поле Xf (т), 68
Глава З
касательное к Xf в каждой точке т Є Ci, было достаточно близко к растягивающему полю Xm. Ясно, что если точка т принадлежит одновременно нескольким Ci, то в точке т существует несколько плоскостей Xf (т,).
Рассмотрим теперь слоение Жп = <рп Ж®, определенное на IpnCi. Эти слоения покрывают М, и, как следует из неравенства (15.3), их касательные поля стремятся к Xm, когда п —> оо. Из этого нетрудно сделать вывод о том, что существует предельное слоение дС, касательное к Xm. Тем самым теорема полностью доказана. ¦
Замечание 15.5. Если система (M,tp) достаточно число рал дифференцируема, то каждый слой слоения X также достаточное число раз дифференцируем. Аналогичное утверждение относительно самого слоения неверно: нормальные производные к слоям могут не существовать.
Можно доказать7, что слоение St', т.е. поле Xm, принадлежит классу С1, если размерность плоскостей Xm равна 1. По-видимому, в общем случае поле Xm педифферепцируемо. Во всяком случае, существуют примеры, в которых поля Xm и Ym не принадлежат классу С1.
Замечание 15.6. Приведенное выше доказательство обобщается для У-по-токов.
§ 16. Структурная устойчивость У-систем
Докажем теперь, что У-системы структурно устойчивы.
Определение 16.1. Структурная устойчивость.
А) Структурная устойчивость диффеоморфизма. Пусть M — коцрактное ^ифферегэдрруемое многообразие, tp: M —)¦ M — С'-диффеоморфизм.
Говорят, что диффеоморфизм tp структурно устойчив, если в любой окрестности K(Mm) (в С°-топологии) тождественного отображения Ым существует оадэе^тйость W(tp) (да-С^топологии) диффеоморфизма tp такая, что каков бы пи был диффеоморфизм tp из W(tp), существует гомеоморфизм к из F(Mm)1 который порождает следующую коммутативную диаграмму
ф
M 7 M
7B. И. Арнольд и Я. Г. Синай [6]. Ij 16. Структурная устойчивость У-систем
69
т.е. ко tp = фок. Иначе говоря, к преобразует орбиты диффеоморфизмов {<рп І п Є Щ в орбиты диффеоморфизмов {фп I п Є Щ. В) Структурная устойчивость потока.
Пусть М-компактное дифференцируемое многообразие. X — поле С-дифференцируемых векторов на М, порожденное потоком ipt
Х(т) = JtMm)
т Є М.
t—0
Говорят, что поток tpt структурно устойчив, если для любой окрестности V(Mm) (в С°-топологии) тождественного отбражения Мм существует окрестность W(X) (в Сг-топологии) поля X такая, что каким бы пи было поле Y Є W(X) С-дифферспцирусмых векторов, существует гомеоморфизм к из V(Mm), который отображает любую орбиту поля X в какую-то орбиту поля Y.
Далее мы будем предполагать, что г ^ 2. Замечание 16.2. Можно было бы предположить, что к — пс просто гомеоморфизм, по диффеоморфизм. Действительно, рассмотрим в R2 систему
