Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
В то же время рассмотрим эллиптический биллиард (рис. 18.2).
16Этот результат был сформулирован в виде предположения, получившей название «эргодической гипотезы». Она вызвала оживленные дискуссии, положившие начало эргодической теории, когда эргодичность не была ни доказана, ни опровергнута. Но ценность эргодической проблемы для статистической механики, возможно, была преувеличена: нас интересует асимптотическое поведение газа при N —> ос (N — число частиц), а не при фиксированном N и t —> +ос. 80
Глава З
Эллипс можно рассматривать как сплюснутый эллипсоид, по которому точка движется, описывая геодезическую. Отражение соответствует переходу с одной стороны такого эллипсоида на другую. Точно так їкє наш торический биллиард можно рассматривать как двусторонний тор с одной дыркой (окружностью). Точка по такому биллиарду движется по геодезической, а отражение соответствует переходу с одной стороны тора на другую.
Но если двусторонний эллипс есть сплюснутый эллипсоид, то двусторонний тор с дыркой есть сплюснутая поверхность рода 2. Таким образом, движение по нашему биллиарду есть предельный случай геодезического потока на поверхности рода 2.
Эллипсоид обладает положительной кривизной, интеграл от которой равен 47Г (формула Гаусса-Бонне). При сплющивании эллипсоида в эллипс, положительная кривизна сосредотачивается на границе эллипса. Для поверхностей рода 2 интеграл от кривизны равен —47г. Следовательно, торический биллиард можно рассматривать как предельный случай геодезического потока на поверхности отрицательной кривизны: вся кривизна сосредоточена на упругой окружности.
Разумеется, приведенное выше рассуждение (Арнольд [4]) не является доказательством эргодичности; то же относится и к случаю, который мы рассмотрели. Однако, используя методы и характерные понятия У-систем (асимптотические орбиты, растягивающиеся и сжимающиеся расслоения), Синай [4], [5] сумел доказать, что модель Больцмана-Гиббса эргодична на каждом подмногообразии T = const ф 0 и, более того, является ^"-системой.
Доказательства этих результатов занимают несколько страниц и используют теорию обобщенных У-систем, расслоения которых разрыв- § 18. Эргодическая гипотеза Больцмана-Гиббса
81
ны. Заметим лишь, что общий случай сводится к задаче о биллиарде в конфигурационном пространстве.
Общая литература к главе 3
[1] Д. В. Аносов, Геодезические потоки на риманоеых многообразиях отрицательной кривизны. Труды Института им. Стеклова, 90, 1967.
[2] Е. Hopf, Statistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krummung. Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss., Leipzig 91, 1939, pp. 261-304.
[3] Я. Синай. Динамические системы со счетнократным лебеговским спектром II. Изв. АН СССР, 1966, 30, №1, с. 15-68. Глава 4 Устойчивые системы
Существует обширный класс динамических систем, траектории которых обладают замечательной устойчивостью, пс заполняют эргодическим образом поверхность уровня энергии H = const, и остаются все время в некоторой области фазового пространства. Это случай систем, близких к «интегрируемым» системам, и систем, к которым применима «теория возмущений» небесной механики. К этому классу принадлежит задача трех тел, а также исследование быстрых вращений тяжелого твердого тела, движения свободной точки по геодезической на выпуклых поверхностях, системы с адиабатическими инвариантами и т. д.
Только в последние годы, после появления работ К. Л.Зигеля [1] (1942) и А.Н.Колмогорова [5] (1954), можно констатировать определенный прогресс в исследовании таких систем. В этой главе мы кратко изложим современное состояние проблемы; подробности см. в работах Арнольда1.
Начнем с примера.
§ 19. Качели и соответствующее каноническое отображение
Уравнения движения 19.1
Уравнения движения маятника имеют вид
где и) — «собственная частота», которая зависит от длины маятника. Качели представляют собой маятник, длина которого I периодически изменяется (под действием человека, который находится на качелях, см. рис. 19.3) Уравнения движения качелей имеют вид
q = р, р= —и>2 sing,
(19.2)
q = p, р = — us2(t) sing,
(19.4)
где <jj(t + т) = <jj(t).
1Cm. В.Арнольд [4], [5]. § 19. Качели и соответствующее каноническое отображение
83
Систему (19.2) мы исследуем в приложении 5, используя фазовую плоскость. Уравнения (19.4) явно содержат время t. Следовательно, речь идет об исследовании векторного поля в трехмерном пространстве р, q, t (см. рис. 19.5).
Отображение T 19.6
Начальные условия р(0) = р0, g(0) = q0 определяют траекторию движения р = p(t), q = q(t,). Принимая во внимание периодичность уравнений (19.4) по t, можно отождествить поверхности ( = Ont = TH рассматривать уравнения (19.4) в пространстве Ж1 х S1 х S1 (p, q (mod 27г), t (mod т)). В результате мы получаем отображение T поверхности ?(( = 0) в себя:
т(ро, до) = Ш, <г(т)).
Ясно, что
(р(пт), g(nr)) = Tn(J)0, q0)•
Следовательно, изучение p(t), q(t) при t —> ос сводится к исследованию итераций Tn, п Є Z. Уравнения (19.4) — канонические, поэтому отображение также T канонично. Иначе говоря, T сохраняет площадь dp Л dq.
