Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Будем говорить, что tp допускает аппроксимацию циклическим преобразованием порядка 0[f(qn)], если для возрастающей последовательности натуральных чисел (/,, существует последовательность разбиений ^qn, сходящаяся к 1, и последовательность автоморфизмов Sqn циклических относительно ?в„ таких, что
Qn
Y,K<pClnASqnC'qn) = O [f(Qn)].
1=1
Каток и Степин доказали некоторые важные теоремы, которые связывают определение порядка аппроксимации периодическими преобразованиями с энтропией и спектром. Важность этих результатов потверждается тем фактом, что во многих случаях возможно получить некоторую информацию о скоростях аппроксимации конкретных систем, даже если точное вычисление спектра невозможно. Некоторые из этих теорем следующие:
1) Если автоморфизм tp допускает аппроксимацию циклическими преобразованиями порядка Ol—^—). тогда h(tp) — 0.
v In2 qn > '
2) Автоморфизм, допускающий аппроксимацию циклическими преобразованиями порядка эргодичен. Более того, имеет место сильная сходимость Uq" Е. где U — унитарный оператор на L2(М, /л), индуцированный преобразованием tp. Как следствие, tp не обладает свойством перемешивания, и максимальный спектральный тип U сингулярен.
Можно найти больше теорем об аппроксимациях и их приложениях к изучению конкретных динамических систем таких, как, к примеру, отображение
,ai a2 aa i _^ a3i a2 ,aii
или поток на торс
dx = 1 <'У _ А
dt F{x,y)' dt F(x, у)
в статьях Катка и Степипа в «Докладах АН СССР» (1967), в журналах «Функциональный анализ и его приложения» (1967), и «Успехи математических наук» (1967). 56
Глава 2
Общая литература к главе 2
[1] P.R.Haimos, Lecture on Ergodic Theory. Chelsea (New York).
[2] P. R. Haimos, Entropy in Ergodic Theory: Lecture Notes. University of Chicago, 1959.
[3] E. Hopf, Ergodentheorie. Springer, Berlin, 1937.
[4] J. von Neumann, Zur Operatoren Methode in der klassischen Mechanik. Ann. Math. 33, 1932, pp. 587 642.
[5] В. А. Рохлин, Новые прогресс в теории преобразований с инвариантной мерой, Успехи мат. наук, 1960, 15, №4(94), с. 3-28.
[6] Ya. Sinai, Probabilistic Ideas in Ergodic Theory. Transl. Math. Soc. Series 2, 31, 1963, pp. 62-84. Глава З Неустойчивые системы
В этой главе мы рассмотрим множество классических динамических систем, обладающих существенно стохастическими свойствами, У-системы1.
Орбиты У-систем очень неустойчивы: две орбиты с близкими начальными условиями экспоненциально «разбегаются» друг от друга. Это свойство приводит к асимптотической независимости будущего и прошлого: У-автоморфизмы эргодичпы, являются «перемешиванием», обладают бесконечным лебеговским спектром и положительной энтропией, словом, они представляют собой /Г-системы. У-системы образуют открытое множество в пространстве классических систем. Следовательно, все системы, близкие к У-системе, обладают такими же стохастическими свойствами. В частности, это относится к геодезическим потокам на компактных римановых многобразиях отрицательной кривизны. Таков первый пример У-систем.
§ 13. У-системы
Пример 13.1. На торс M = {(х, у) modi}, снабженном римановой метрикой ds2 = dx2 + dy2, рассмотрим диффеоморфизм
имеет два действительных собственных значения Ai и A2 таких, что
1TepMHH У-системы введен Аносовым. Буква У используется потому, что эти системы удовлетворяют «условию У». В оригинале — C-systems (от «condition»).
(mod 1).
Это гиперболический поворот, т.е. матрица
О < A2 < 1 < Ai. 58
Глава З
Пусть X и Y — два собственных направления, сответствующих Ai и A2. Расстояния в направлении X «растягиваются», а в направлении Y «сжимаются». Более точно, пусть TMm — пространство, касательное к M в точке т, Xm и Ym подпространства, параллельные, соответственно, XhY, <р*: TMm —У TMtp^m) — дифференциальное отображение tp. Тогда
ІЬЧІІ ^ Al • lien при g Є Xra, (Al > 1); \\<P*t\\ < A2 • ЦСУ при С Є Ym, (0 < A2 < 1), где Il • Il означает длину (см. рис. 13.2).
/f
/ Vn и/
Lx / m
Рис. 13.2
Этот пример служит характерным представителем У-систем, к определению которых мы сейчас переходим.
Определение 13.3. Пусть ip — диффеоморфизм класса C2 связного § 13. У-системы
59
компактного римапова многообразия M класса С°°. Обозначим через ip*: TMm —у TMtp(Jn) дифференциал отображения <р.
Мы говорим, что ip удовлетворяет условию У, или что ip — У-диф-феоморфизм, если существуют два поля касательных плоскостей Xm и Ym положительных размерностей таких, что:
1) TMm — прямая сумма Xm и Ym:
TMm = Xm ® Ym',
2) при всех целых положительных п
IKvTeii IKv-TeK ь.е-А»|кц при і ^ хт,
IKvTeK Ье-А1?||, IKv-TeiI ^ а' еАпІІЄІІ при CeYm,
где положительные константы а, Ь, А не зависят от п и ||?|| означает длину вектора Пространство Xm называется растягивающимся, а пространство Ym — сжимающимся.
Пример 13.1 удовлетворяет условию У:
a = b = 1, Cx = X1, сГх = Х2 (X1X2=I).
Приведенное выше определение распространяется на непрерывный случай.
Пусть ipt — группа с параметром t Є Ж диффеоморфизмов класса C2 связного компактного римапова многообразия M класса Coc. Говорят, что ipt — У-поток, если:
