Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Заметим также, что если два разбиения эквивалентны, т.е. отличаются лишь на множестве меры нуль, то они обладают одинаковой энтропией. Наконец, равенство h(a) = 0 означает, что все меры Ii(Ai) равны нулю, кроме одной, равной единице.
Определение 12.4. Средняя энтропия разбиения « относительно разбиения ?. Пусть a = [Ai \ і = 1, ... , г}, ? = {Bj \ j = = 1. ... , s} — два измеримых конечных разбиения.
Можно предположить, что ?(Ai) > 0, Ii(Bj) > 0 при всех i, j. Разбиение а индуцирует на каждом Bi конечное разбиение
Если считать, что Bi имеет меру 1 (в результате перенормировки), то это конечное разбиение, обладающее энтропией.
Взвешенная сумма этих эптропий по всем Bi называется энтропией а относительно ? и обозначается
Bi П Ai, ... , Bi П Ar.
Ца\?) = Y»m -±^f1bg
i=l L a=i
HjBi П Ak) V(Bi) 44
Глава 2
Аналогичное определение существует и в том случае, если а и ? — счетные и измеримые разбиения (приложение 18).
В приложение 18 приведено доказательство следующей теоремы.
Теорема 12.5. Пусть а, ?, 7 — измеримые конечные (или счетные) разбиения. Тогда
h{a \?)^0, (12.6)
причем равенство имеет место в том и только том случае, если a^? (mod 0).
h(a V ? I 7) = h(a | 7) + h(? \ a V 7), (12.7)
a^? (mod 0) =^ h(a | 7) ^ h(? | 7), (12.8)
/3^7 (mod 0) h(a | 7) ^ h(a \ ?), (12.9)
h(aV? I 7) sS h(a | 7) + h{? | 7). (12.10)
Пусть V — тривиальное разбиение {M} и возьмем 7 = v в выписанных выше соотношениях. Поскольку h(a \ v) = h(a), получаем
h(a V ?) = h(a) + h(? \ a), (12.11)
a ^ ? =$> h(a) sC h(?), (12.12)
h(a I ?) < h(a), (12.13)
h(aV?)^h(a) + h(?). (12.14)
Заметим, наконец, что если tp — автоморфизм измеримого пространства (м, /і), то
<p(aV?)=<p(a)V<p(?), (12.15)
h{a I ?) = h(tpa | ip?). (12.16)
Определение 12.17. Энтропия разбиения относительно автоморфизма. Пусть (М, fi, ip) динамическая система, а конечное (или счетное) измеримое разбиение многообразия М. Энтропией а относительно <р называется число
ft(g V yg V---Vyw-1O) +
п(а, ip) = Iirn ---, п Є h .
п—>00 "
Докажем, что этот предел существует. Так как п положительное целое число, положим:
hn = h(a V (pa V • ¦ • V у™-1«), sn — Hn hji—i» § 12. Энтропия
45
Лемма 12.18. sn ^ 0.
Доказательство.
Из свойства 12.8 и из того, что
а V (pa V • • • V Ip11-1Q < а V • • • V р>па,
следует, что Zire-I < hn. Я
Лемма 12.19. sn — убывающая последовательность.
Доказательство.
По свойству (12.9) имеем:
s„ = /»(aV--V ipna) - h(a V • • • V ^1 a) =
= h,(ipnQ. I о: V • • • V Lpn'1 о). (12.20)
Следовательно,
sn_x = h(ipn~1a I a V • ¦ • V pn~2a). т.е. с учетом (12.15) и (12.16)
Sn^ = h(ipna I (pa V • • ¦ V (Pn^a).
Поскольку (pa V • • • V </з"-1а: sC а V • • • V из свойства (12.12)
следует, что Sn-I ^ Sn. ¦
Теорема 12.21. Энтропия h(a,tp) существует и равна lim h(tpna IraV--V у?™"1«).
п—»со
Доказательство.
{*„} — это убывающая последовательность положительных чисел, имеющая предел s. Если заметить, что hn = h(a) + Si + ... + sn, то из теоремы о средних арифметических в смысле Чезаро мы заключаем, что
К
Iim — = s.
п—>ос
П
Теорема 12.21 следует из определения энтропии h(a, ip) и выражс-(12.20) для sn. я 46
Глава 2
Пример 12.22. Схемы Бернулли. Пусть В(р ... , рк) — схема Бернулли (см. гл. 1, пример 2.2), ip ее автоморфизм. Рассмотрим конечное разбиение а с к элементами
A10 = {то I mo = «}, г = 1, ... , к.
Докажем,что
к
h(a, <р>) = -^piIogft. і=1
Поскольку IpnA10 = A1n = {то | то„ = г}, то а V <ра V • • • V имеет элементами
4° П А*1 П---П А^Гі1,
мера которых равна Рщ-... •Ріп_1- Поэтому мы заключаем, что KaV Mipn-1U) = - Y Pio.....Pin-i -log(Pi0 • -..-Pin^1).
I0,... ,і„- і
Суммируя по го и замечая, что
Y Piо ¦ ----Pin-і = I5
го,-.-.г,,-і
получаем:
h(aV ---V Ipn-1U) = Pi loSW + KaV ¦--V <рп~2а).
і
По индукции мы заключаем:
KaV ¦¦-V Pn-1O) = п (-J^ Pilogft),
і
откуда
Ka-, 1P) = -YPilo&Pi-
г
Определение 12.23. Энтропия автоморфизма13. Энтропией h(ip) автоморфизма ip называется величина
KtP) = sup/i(a, ф),
где а пробегает множество конечных измеримых разбиений. Очевидно, что h(ip) ^ 0.
13Это понятие введено Колмогоровым [4]. См. также Синай [7], [8]. § 12. Энтропия
47
Теорема 12.24. Энтропия h(tp) — инвариант динамической системы (M, ?, уз).
Доказательство.
Предположим, что системы (М, ?, tp) и (M',?',tp') изоморфны (см. гл. 1, определение 4.1). Тогда существует изоморфизм /: M -> M' такой, что уз' = /уз/-1. Если « — измеримое конечное разбиение многообразия М, то fa измеримое конечное разбиение многообразия M'. Из (12.15) и (12.16) получаем
Hf >\ Ui і f-h г М/ДУ-У/Г'Г1/«) h(fa, tp ) = h( fa, /уз/ х) = lim --- =
п—їоС
ft (/(a V-V^-'n)) h(a V ••• Ууз^а) ,, = lim -й- = lim ---= h(a, tp).
п—юа n—f ос
С другой стороны, если а пробегает множество измеримых конечных разбиений многообразия М, то fa пробегает аналогичное множество для M'. Следовательно,
