Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 19.5
Положение равновесия р = 0, q = кж (к = 0, 1) является решением уравнений (19.4). Следовательно, точки р = 0, q = кж неподвижные точки отображения Т. 84
Глава 4
Интегрируемый случай 19.7
Чтобы лучше понять структуру отображения Т, рассмотрим прежде всего «интегрируемый случай» — и> = const. В этом случае система консервативна, поэтому энергия является интегралом. Иначе говоря, кривые на поверхности X, заданные уравнением
ті 1 2 2
I : —р — со cos q = п
(см. рис. П5.1, приложения 5) инвариантны при отображении Т.
Рассмотрим часть поверхности X, заключенную внутри сепаратрис (h < и>2). Чтобы исследовать отображение Т, используем координаты действие-угол I, tp. Можно доказать (см. приложение 26), что существует каноническое преобразование tp: р, q —I такое, что уравнение I = const определяет инвариантную кривую Г = Г/. Координата tp (mod 27г) есть угловая координата на Г/, и в системе координат I. tp отображение T имеет вид:
Т: Ltp^I, tp + X(I).
Иначе говоря, каждая кривая Г/ поворачивается на угол X(I), который изменяется от одной кривой к другой, но остается постоянным вдоль каждой кривой (если tp выбрать за параметр). Нетрудно видеть, что для кривых, близких к сепаратрисе ^p2-CO2 cos q = со2, IimA(Z) = О,
а для кривых, близких к точке (0,0), IimA(Z) = сот.2 Отсюда следует, что одна часть кривых Г/ поворачивается на угол X(I), соизмеримый с 2тг, а другая часть кривых поворачивается на угол, несоизмеримый с 27Г. Рассмотрим итерации отображения T точки х = (р, q), принадлежащей кривой Г такой, что А = 27г^. Мы, очевидно, имеем Тпх = х. Следовательно, каждая точка кривой Г является неподвижной точкой отображения Tn, и траектория точки х состоит из конечного числа точек (см. рис. 19.8). Если угол X(I), соответствующий кривой Г/, несоизмерим с 27Г, то точки Тпх образуют множество всюду плотное на кривой Г/ (см. приложение 1). Наконец, заметим, что положение равновесия р = q = 0 устойчиво: если величина |жо| = \/ро + Достаточно мала, то величина ITin^oI остается малой для всех п Є TL.
2Это следует из того, что линеаризованные в нуле уравнения (р, q 1) соответствуют вращению с частотой а> (см. приложение 5); таким образом, за время т происходит поворот на угол шт. § 19. Качели и соответствующее каноническое отображение
85
Рис. 19.8
Неинтегрируемый случай 19.9
Пусть теперь и) периодическая непостоянная функция. Дополнительно предположим, что и>(t) остается достаточно близкой к и>о, например:
J1 = uj2?(t) = 1 +SCOSut), О < S <sC 1, P = Щ-.
Отображение Te, соответствующее функции и>е, близко к рассмотренному выше отображению Т. Это отображение сохраняет площадь dp Л dq и точку (0,0), но не сохраняет ни энергию, ни кривые Г/. Основную цель теории возмущений составляет исследование поведения итераций Te при в ж и ? « 1. Существуют два способа рассмотрения проблемы:
1) є "С 1, —оо < п < оо (теория устойчивости);
2) є -С 1, \п\ < є~к (асимптотическая теория fc-ro приближения).
Основной результат теории устойчивости восходит к А.Н.Колмогорову (см. §21). Для нашего примера он утверждает следующее: Теорема 19.10. Если є достаточно мало, то отображение Te обладает инвариантными аналитическими кривыми близкими к инвариантным кривым Г отображения Т. Кроме того, при достаточно малом є эти кривые Ге заполняют область внутри сепаратрис 86
Глава 4
(bp2 -Wq cos g uiq)7 исключая множество меры, Лебега, малой вместе
с є.
Иначе говоря, при достаточно малом є инвариантные кривые Гє, для которых угол А(7) «достаточно несоизмерим» с 2тг, не исчезают, а лишь слегка деформируются. Образы Т™х точек ж Є Ге лежат на кривых Г?.
Из теоремы 19.20 также следует, что движения, соответствующие начальным условиям, которые не лежат на кривых Гє, а расположены между этими кривыми, устойчивы. Действительно, кривая Гє, инвариантная относительно Te, представляет собой в силу уравнений (19.4) инвариантный тор3 в пространстве р, q, t (q (mod 27г), t (mod т)). Следовательно, интегральная кривая уравнений (19.4), выходящая из точки, расположенной между двумя инвариантными торами, никогда не может покинуть слой, ограниченный двумя такими торами (см. рис4. 19.21).
Теорема 19.20 является непосредственным следствием из теоремы 21.11 (§21), доказательство которой приведено в приложении 34.
§ 20. Неподвижные точки периодических движений
Чтобы лучше понять структуру зон, расположенных между кривыми Ге, рассмотрим неподвижные точки отображения Te и его итераций. Эти точки соответствуют периодическим движениям качелей.
Рис. 19.21
3T. е. квазипериодическое движение качелей.
4Рис. из работы В.И.Арнольда [5]. § 20. Неподвижные точки периодических движений
87
Эллиптические и гиперболические точки 20.1
Исключая в окрестности неподвижной точки все члены, начиная со второго порядка, получим его линейную часть, то есть дифференциал. Дифференциал канонического отображения есть каноническое линейное отображение. Линейные канонические отображения рассмотрены в приложении 27. Если это линейное отображение гиперболично (соответственно, гиперболично с отражением, эллиптично), то говорят, что неподвижная точка называется гиперболической (соответственно, гиперболической с отражением, эллиптической). Несложно показать, что гиперболические неподвижные точки неустойчивы не только для линейной части отображения, но и для всего нелинейного отображения (Адамар). Проблема устойчивости эллиптических точек известна как «проблема Биркгофа». В общем случае эллиптические точки двумерных систем являются устойчивыми (см. приложение 28).
