Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
ISBN 5-89806-018-9
Скачать (прямая ссылка):
Из произвольности числа є и эргодичности сжимающихся слоев (лемма 17.6) следует, что fi(H) = 1. Таким образом,
OO
Pl <рп21 = (0, М) (mod 0).
71= — ОС Эргодические свойства У-систем
77
Приведенные выше рассуждения распространяются на С-диффео-морфизмы самого общего вида. Деликатным вопросом является конструкция разбиения, аналогичного разбиению /?, и меры площади слоев. Эту трудность устраняет теорема Аносова [2], которую мы сейчас сформулируем.
Рассмотрим расслоение римапового n-мерного многообразия M нар-мерные слои. Выберем два дифференцируемых (га— р)-мерных многообразия П и П' локально трапсверсальпых к слоям. Мы предполагаем, что если т Є П, то слой проходит через то и пересекает П' в точке то', и что точка то' близка к точке то в римановой метрике, индуцированной на слое. Это определяет отображение /: П —> П', переводящее то в т'.
Определение 17.7. Абсолютная непрерывность слоения. Если при любых парах многообразий П и П' / — непрерывный обобщеный якобиан и если этот якобиан непрерывно изменяется при малых деформациях многообразия П', то мы говорим, что слоение абсолютно непрерывно.
С каждой С-системой связаны два трансверсальных слоения дС и fW (см. § 15). Для этих слоений Аносов доказал следующую теорему.
Теорема 17.8. Слоения Ж и <& абсолютно непрерывны.
Мы не приводим здесь доказательства теоремы 17.8, которое слишком длинное. Мы только представим конечный результат, полученный с ее помощью. Рассуждения, используемые при доказательстве 17.1, обобщаются и приводят к следующим теоремам (Аносов [2]).
Теорема 17.9. Все У-системы (У-диффеоморфизмы или У-потоки) эргодичны.
Теорема 17.10 (см. Синай [11]). Всякий У-диффеоморфизм есть К-система.
Наоборот, пример 15.5 показывает, что для У-потока щ могут существовать отличные от постоянных собственные функции. В этом случае tpt не может иметь лебеговский спектр на ортогональном дополнении к функциям-константам (см. § 10). Следовательно, щ не может быть if-потоком (см. теорему 11.5). Как показывает следущая теорема, пример 15.5 является единственным исключением.
Теорема 17.11. Пусть щ — У-поток на n-мерном многообразии M. Тогда 78
Глава З
1) либо (ft есть К-система,
2) либо <pt имеет собственную непостоянную функцию.
В последнем случае эта собственная функция непрерывна, и существуют (п — 1)-мерное компактное подмногообразие V многообразия M и У-диффеоморфизм <р: V —> V такой, что tpt У-поток, получаемый из ip с помощью конструкции из замечания 13.10 (§ 13 гл. 3) с точностью до изменения масштаба времени t (t —Ct, С — константа).
Следствие 17.12. Геодезический поток на унитарном расслоенном пространстве, касательном к компактному риманову многообразию отрицательной кривизны, есть К-система.
Доказательство.
По теореме Лобачевского-Адамара (14.3) геодезический поток есть У-система. Следовательно, по теореме 17.9, он эргодичен. Но, как показывает следствие П16.10 (приложение 16), геодезический поток не имеет непрерывной собственной функции12. Тем самым исключается вторая возможность теоремы 17.11. Таким образом, из теоремы 17.11 мы заключаем, что геодезические потоки па унитарных расслоенных пространствах TiV, касательных к компактным римановым многообразиям отрицательной кривизны, являются ^"-системами. Следовательно, они обладают положительной энтропией (теорема 12.31, гл. 2), имеют бесконечный лебеговский спектр13 (теорема 11.5, гл. 2), являются перемешиванием14 (теорема 10.4, гл. 2) и эргодичны15 (следствие 8.4 гл. 2).
§18. Эргодическая гипотеза Больцмана-Гиббса
Идеи и методы, изложенные в предыдущих параграфах, применимы к проблемам классической механики, например, к модели газа Больцмана-Гиббса. В этой модели газ представляет собой твердые шары в ящике с твердыми степами, имеющем форму прямоугольного па-
12C учетом формулы Гаусса —Бонне можно утверждать, что многообразие отрицательной кривизны не может быть тором Т.
13Для случая постоянной кривизны этот результат получен И. М. Гельфандом и С.В.Фоминым [2], для поверхностей непостоянной отрицательной кривизны П. Г. Синаем [10].
14Для случая многообразий постоянной кривизны это доказано Э. Хопфом [1].
15Этот результат получен Хедлундом [1] и Э. Хопфом для поверхностей отрицательной кривизны и многообразий постоянной отрицательной кривизны. § 18. Эргодическая гипотеза Больцмана-Гиббса
79
раллелепипеда. Предполагается, что столкновения шаров между собой, равно как и шаров с перегородками и степками абсолютно упруги.
Эргодичность такой системы16 доказана для поверхностей уровней энергии T = const ф 0.
Источником эргодичности таких систем служат столкновения. Рассмотрим простейший случай двух идеальных круглых частиц на поверхности тора T2, снабженного евклидовой метрикой. Упростим задачу еще больше, предположив, что одна из частиц неподвижна, а другая выродилась в точку. Задача сводится к исследованию движения одной частицы «на биллиарде в форме тора» (см. рис. 18.1) с упругими столкновениями со стенками неподвижной окружности согласно закону: угол падения а равен углу отражения ?.
